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DL a l rodre N

Posté par nounou_cam (invité) 17-09-05 à 17:41

Bonjour a toutes et a tous!

J'ai un petite Dm a faire, et j'aurais bien besoin d'un coup de main!

Ma fonciton est f(x) = x(1/x) definie sur ]O:+[

Je cherche un DL a l'ordre n de cette fonction en x=1!!

J'ai deja un DL2(1) de f(x)

f(x) = 1 + (x-1) + (x-1)^2 + o((x-1)^2)

Je sais que ce DL est bon, mais je pourrai supposer par reccurence, mais alors comment demontrer le rang n+1?

Sinon avec la formule de taylor young, mais comment connaitre la derivé n ieme de f(x)?

Merci a tous

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurreL a l rodre N 17-09-05 à 20:23

Bonjour nounou_cam,juste une idée:
tu veux un DL à l'ordre n en 1 de la fonction \fbox{x\to f(x)=x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{ln(x)}{x}}}
tu commences par te ramener en 0 en posant u=x-1 tu as donc:
\fbox{f(x)=g(u)=e^{\frac{ln(1+u)}{1+u}}=e^{h(u)}} avec \fbox{h(u)=e^{\frac{ln(1+u)}{1+u}}} et comme on sait que: \fbox{ln(1+u)=\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i-1}u^i}{i}+o(u^n)\\ \frac{1}{1+u}=\Bigsum_{j=0}^{n}(-1)^{j}u^j+o(u^n)}
on a que: \fbox{h(u)=\Bigsum_{i=1}^{n}\Bigsum_{j=0}^{n}(-1)^{i+j-1}u^{i+j}+o(u^n)} ou encore par troncature (c'est à dire en ne laissant dans la partie principale de ce DL que les termes dont l'exposant de u est au plus n) \fbox{h(u)=\Bigsum_{1\le i\le n\\0\le j\le n\\i+j\le n}(-1)^{i+j-1}u^{i+j}+o(u^n)}
un petit changement dindice s'impose k=i+j
\fbox{h(u)=\Bigsum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}ku^k+o(u^n)=u-2u^2+3u^3-4u^4+..+(-1)^{n-1}nu^n+o(u^n)=P_{n}(u)+o(u^n)}
D'où:
\fbox{g(u)=e^{P_{n}(u)+o(u^n)}=\Bigsum_{l=0}^{n}\frac{{(P_{n}(u))^l}}{l!}+o(u^n)} ou encore:
\fbox{f(x)=\Bigsum_{l=0}^{n}\frac{{(P_{n}(x-1))^l}}{l!}+o((x-1)^n)=Q_{n}(x-1)+o((x-1)^n)}
La partie principale du DL cherché est obtenue par troncature au rang n du polynome Q_{n}(x-1).
exemple:
n=2 \fbox{P_{2}(x-1)=(x-1)-2(x-1)^2\\Q_{2}(x-1)=1+[(x-1)-2(x-1)^2]+\frac{1}{2}[(x-1)-2(x-1)^2]^2}
soit donc: 2$\fbox{f(x)=1+(x-1)-\frac{3}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)}
tu as du te tromper nounou_cam

Posté par nounou_cam (invité)re : DL a l rodre N 17-09-05 à 21:31

effectivement j'ai du me tromper, mais le probleme c'est que 2 correcteurs trouvent la meme chose que mon DL .

Regarde
https://www.ilemaths.net/sujet-math-dl-compose-bcpst-46049.html

Vois tu une faute?

Merci enormement pour ton aide, ca va me permettre de continuer a avancer se DM, pas si evident a mon gout lol

merci encore a toi

Posté par nounou_cam (invité)re : DL a l rodre N 17-09-05 à 21:35

Je trouve le meme resultat que toi avant composition par le DL de e(u) !

Une idée?

Merci

Posté par nounou_cam (invité)re : DL a l rodre N 17-09-05 à 21:39

Je ne comprends pas bien le passage du changement d'indice, dans la somme tu a un K qui apparait entre le (-1)^(k-1) et le u^(k).

Pourrais tu m'expliquer d'ou il provient?

Merci

Posté par nounou_cam (invité)re : DL a l rodre N 17-09-05 à 22:00

apres plusieurs verification et une utilisation pousser de la calculatrice, je trouve bien le resultat que j'ai!!

Cependant , peut etre est ce du a l'apparition du K dans la somme...??

Merci bien a toi en tout cas

Cordialement

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : DL a l rodre N 18-09-05 à 00:04

Bonsoir nounou_cam;
effectivement je me suis trompé lors du calcul du polynome P_{n}(u) car on a plutot:
\fbox{P_{n}(u)=\Bigsum_{1\le i\le n\\0\le j\le n\\i+j\le n}\frac{(-1)^{i+j-1}}{i}u^{i+j}} (j'avais donc oublié le i du dénominateur)
arrangeons ça:
avec le changement d'indices (i,j)\to(i,k=i+j) on a que:
2$\blue\fbox{P_{n}(u)=\Bigsum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u^k\Bigsum_{i=1}^{k}\frac{1}{i}=\Bigsum_{k=1}^{n}a_{k}u^k} où 2$\blue\fbox{a_k=(-1)^{k-1}\Bigsum_{i=1}^{k}\frac{1}{i}}

n=2 \fbox{a_1=1\\a_2=-\frac{3}{2}} d'où:
\fbox{P_{2}(u)=u-\frac{3}{2}u^2} et donc que:
\fbox{Q_{2}(u)=1+(u-\frac{3}{2}u^2)+\frac{1}{2!}(u-\frac{3}{2}u^2)^2=1+u-u^2+o(u^2)} donc:
2$\fbox{f(x)=1+(x-1)-(x-1)^2+o((x-1)^2)}
Désolé nounou_cam tu avais raison
allez un bonus pour toi:

n=3 \fbox{a_3=(-1)^{3-1}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=\frac{11}{6}} d'où: \fbox{P_{3}(u)=u-\frac{3}{2}u^2+\frac{11}{6}u^3\\Q_{3}(u)=1+(u-\frac{3}{2}u^2+\frac{11}{6}u^3)+\frac{1}{2}(u-\frac{3}{2}u^2+\frac{11}{6}u^3)^2+\frac{1}{6}(u-\frac{3}{2}u^2+\frac{11}{6}u^3)^3\\Q_{3}(u)=1+u-u^2+\frac{1}{2}u^3+o(u^3)} d'où:
3$\blue\fbox{f(x)=1+(x-1)-(x-1)^2+\frac{1}{2}(x-1)^3+o((x-1)^3)}
Sauf nouvelle erreur bien entendu

Posté par nounou_cam (invité)re : DL a l rodre N 18-09-05 à 12:26

Merci bien a toi, mais la simple idé d'ecrire tout ca sous la forme d'une somme m'aurait suffit!
Comme on dit chez nous, le principal, c'est d'avoir l'idée.
D'ailleur nos kholleurs ne nous donne que les idées, qui ne sont pas toujours les meilleurs d'ailleur!

Je te remercie bien pour ton aide, car cela m'aurait vraiment ennuié de demontrer avec conviction quelque chose de faux !

Merci bien a toi

Avec ton aide, j'aurais au moins un

A bientot peut etre .

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : DL a l rodre N 18-09-05 à 13:42

Il n'y a vraiment pas de quoi nounou_cam n'hésites pas à poser toutes les questions qui te préoccupent il y a beaucoup de bonnes volontés sur cette ile.
Bonne chance et à bientot j'espére

Posté par nounou_cam (invité)re : DL a l rodre N 18-09-05 à 18:11

en fait je suis désolé, mais j'ai mal lu mon enoncé, (d'ailleur c'est etonnant.)
Mais comment obtenir le developpement limité en 0 de cette fonction?
La je comprends pas vraiment parce qu'elle n'est pas définie en zeros?

Une idée mon cher ami?

COrdialement

Posté par nounou_cam (invité)re : DL a l rodre N 18-09-05 à 18:19

N'etant pas definie en zeros, faut il que je fasse un prolongement par continuuité?

Car elle est prolongeable, en posant f(0)=0
Elle serait alors derivable en 0!
D'ou un devellopement limité en 0 (ps: qui serait 0?)

Merci en tout cas.

Posté par
Nightmarere : DL a l rodre N 18-09-05 à 19:09

Tient, une nouvelle personne de Berthelot ça fuse ici

Posté par
Tom_Pascal Webmasterre : DL a l rodre N 18-09-05 à 19:12

Le 94 va bientôt être sur-représenté dans la répartition géographique

Posté par
Nightmarere : DL a l rodre N 18-09-05 à 19:12

Posté par nounou_cam (invité)re : DL a l rodre N 18-09-05 à 22:15

tu n'aimes pas les gens du 94? Surtout ceux de Berthelot ? c'est ca?lol

Vous n'auriez pas une idée les gars? Parce que moi, j'ai beau chercher, je trouve pas, je suis un peu comme tous les chercheurs francais, on cherche mais on trouve jamais LOL

Merci a vous

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : DL a l rodre N 18-09-05 à 23:50

nounou_cam,veut tu dire que l'énoncé demandait un DL en 0 et non en 1 ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : DL a l rodre N 19-09-05 à 00:41

Je crois que j'ai une réponse nounou_cam:
3$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}\\f(x)=o(x^n)\hspace{5}au\hspace{5}voisinage\hspace{5}de\hspace{5}0} ou encore 3$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}\\ \lim_{x\to0^{+}}\frac{f(x)}{x^n}=0} ce qui veut dire que le DL de f en 0 est nul à tous les ordres.
preuve:
notons: 2$\fbox{F(x)=\frac{f(x)}{x^n}=\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^n}=x^{\frac{1}{x}-n}} on a 2$\fbox{ln(F(x))=ln(x)(\frac{1}{x}-n)} et donc 2$\fbox{\lim_{x\to0^+}ln(F(x))=-\infty} on en déduit donc que:
2$\fbox{\lim_{x\to0^+}F(x)=0}
CQFD

Posté par nounou_cam (invité)re : DL a l rodre N 21-09-05 à 19:41

merci bien a toi, mon prof m'a fait la meme demonstration que toi en me disant : bas c'est evident enfin ...

Euh .. tu trouves ca si evident? M'enfin c'est vrai que quand on a la solution ca va mieu ...

Merci bien a toi

Cordialement !!

Je saurai ou te trouver en cas de pb
lol



merci


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