Bonjour

Il y a plusieurs façons de répondre à tes questions.

D'abord, tant qu'on parle de matrices nilpotentes, il n'y a aucune approximation ni aucun passage à la limite. Puisque les puissances sont nulles à partir d'un certain rang, on écrit des égalités. Les formules usuelles fonctionnent, seul piège possible, oublier que la multiplication des matrices n'est pas commutative.

Dans ton éxo, , si , évidemment il disparait.

Par ailleurs, tu as vu des développements limités pour des fonctions réelles, avec des restes (les "petits o") petits.
Sur beaucoup d'espaces vectoriels réels ou complexes, par exemple celui des matrices carrées d'une taille donnée, on peut définir une structure qui permette de parler de passage à la limite. Dans ce cas, on peut faire des développements limités avec reste, et les formules que tu connais sont en général valables. Tu verras ça dans la suite de tes études.

Bonjour,

Pour compléter la réponse de Camélia on peut dire qu'il y a trois parties dans cet exercice qui mêle analyse et algèbre.

1) On applique la formule de Taylor-Young à la fonction : c'est de l'analyse.

2) On élève au carré pour obtenir mais cela devient de l'algèbre puisque est un polynôme ; on peut donc réécrire l'égalité en où est un polynôme.

3) On peut alors passer aux matrices en remplaçant par la matrice dans l'égalité polynômiale mais il faut faire bien attention à remplacer 1 par la matrice identité : puisque
Mais cela ne donnerait rien d'intéressant si on remplaçait par une matrice non nilpotente.