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DL en l'infini

Posté par
louisedcc 07-09-24 à 12:01

Bonjour,

J'ai la fonction, définie sur R+, f(x) = ln( t + (t2 +1)1/2 )
"ln de (t + racine de ( t au carré +1 ) )"

On me demande un équivalent simple en 0 et en +l'infini.
J'ai trouvé pour 0 par théorème de primitivation du DL de f' puisque f est de la classe C1.

Par contre, je suis bloquée pour l'infini...
Merci d'avance pour une piste

Posté par
thetapinch27re : DL en l'infini 07-09-24 à 13:17

Bonjour,

L'expression peut grandement se simplifier en posant t=sinh(x).

Posté par
carpediemre : DL en l'infini 07-09-24 à 13:18

salut

t + \sqrt {t^2 + t} = t \left( 1 + \sqrt {1 + \dfrac 1 t}} \right)

Posté par
louisedccre : DL en l'infini 07-09-24 à 15:50

Bonjour, pour la deuxieme réponse je ne peux pas faire ça car je dois ensuite composer avec ln par la gauche, démarche illicite puisque la quantité va en l'infini ?

Posté par
louisedccre : DL en l'infini 07-09-24 à 15:52

Pour le changement en sh(x) je trouve équivalent à x, je pensais trouver 2x ?

Posté par
louisedccre : DL en l'infini 07-09-24 à 15:55

thetapinch27 @ 07-09-2024 à 13:17

Bonjour,

L'expression peut grandement se simplifier en posant t=sinh(x).


Merci ! les calculs marchent mais comment dois-je justifier de poser t = sh(x) ? Car je travaille en l''infini et pas en zéro

Posté par
thetapinch27re : DL en l'infini 07-09-24 à 17:45

Bonjour,

La justification est que sh(x) est bijective et suffisamment régulière sur R. Pas la peine de se torturer.

Le changement de variable que je proposais était pour indiquer qu'on reconnaît l'expression de argsh(t) dont on connaît pas mal de choses dont un équivalent en l'infini.

Si ça ne fait pas partie de tes "classiques" il faut suivre la méthode de carpediem pour trouver le comportement en l'infini. Tu devrais constater assez vite que c'est équivalent à ln(t).

Posté par
carpediemre : DL en l'infini 07-09-24 à 19:08

en corrigeant l'erreur : f(t) = t + \sqrt {t^2 + 1} = t \left( 1 + \sqrt {1 + \dfrac 1 {t^2}}} \right)

louisedcc @ 07-09-2024 à 15:50

pour la deuxième réponse je ne peux pas faire ça car je dois ensuite composer avec ln par la gauche, démarche illicite puisque la quantité va en l'infini ?
je ne vois pas où est le pb ...


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