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DL en pi/2

Posté par
charmander 17-02-14 à 10:58

Bonjour,

J'aimerais calculer le développement limité à l'ordre 2 en \frac{\pi}{2} de la fonction :

x \rightarrow \frac{ln(1+sinx)}{x}

Alors je pose h = \frac{\pi}{2} - x et je trouve pour le dénominateur :

ln(1+sinx) = ln2 - \frac{(\frac{\pi}{2} - x)^2}{4} + o((\frac{\pi}{2} -x)^2)

Normalement c'est juste, et il me reste plus qu'à diviser par x=\frac{\pi}{2} pour obtenir le résultat final. Mais voilà, un logiciel de calcul m'indique qu'il y a un terme de degré 1 dans le résultat final, et je ne vois vraiment pas d'où ça vient.. Si quelqu'un pouvait m'éclairer, merci !

Posté par
lafol Moderateurre : DL en pi/2 17-02-14 à 11:03

Bonjour
que devient le dénominateur ? là tu ne t'es occupé que du numérateur ...

en plus en principe, c'est h = x - \dfrac{\pi}{2}, qu'on pose

Posté par
charmanderre : DL en pi/2 17-02-14 à 11:10

Bonjour

J'ai posé h = \frac{\pi}{2} - x pour pouvoir passer de sinus à cosinus et vice-versa sans me préoccuper du signe, car on a toujours cos(\frac{\pi}{2} -x)=sin(x) mais non cos(x-\frac{\pi}{2})=sinx... C'est pas nécessaire ?

Et si l'on revient au problème, le dénominateur est déjà sous sa forme DL (monôme x), non ? Je le divise ?

Posté par
lafol Moderateurre : DL en pi/2 17-02-14 à 11:15

le dénominateur est sous la forme \dfrac{\pi}{2}\pm h selon le choix fait pour h ... tu mets pi/2 en facteur pour utiliser le dl de 1/(1+t).

et \sin(h + \frac{\pi}{2}) = -\cos h, je ne vois pas où est le problème.

Posté par
lafol Moderateurre : DL en pi/2 17-02-14 à 11:17

tant qu'on y est, cosinus est paire, donc on a toujours cos(\frac{\pi}{2} -x)=sin(x)=cos(x-\frac{\pi}{2}) ...

Posté par
charmanderre : DL en pi/2 17-02-14 à 11:28

Oui, je voulais dire qu'il y avait peut-etre un probleme pour le sinus : si on pose pas exactement x=\frac{\pi}{2} -h , on aurait un signe moins qui apparait quand on fait le changement de variables, sin(x-\frac{\pi}{2}) = -cosx

C'est pas gênant ?

Posté par
charmanderre : DL en pi/2 17-02-14 à 11:31

En tout cas, merci pour ton aide, je vois où c'est faux dans mon calcul maintenant !

Posté par
lafol Moderateurre : DL en pi/2 17-02-14 à 11:37

en plus je me suis embrouillée : \sin(\frac{\pi}{2} + h), c'est \cos h !
c'est pour \cos(\frac{\pi}{2} + h) qu'un signe "moins" apparait !


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