Salut je te conseille de poser u = x + pi/2 et tu devras faire un DL de cos(u)
Le résultat final est sauf erreur 2ln(x + pi/2)

merci pour ta réponse

Par contre, il semblerait que tu ais fais une erreur :

Donc, le resultat serait plutot :

Je te laisse te convaincre que nos deux réponses sont bonnes

Je ne te suis pas. Que veux tu dire par là ?

Son équivalent le plus simple ... c'est la fonction elle-même.
Équivalent dans quel étalon de comparaison (synonyme : échelle de comparaison) ?

On suppose par défaut que c'est celui des puissances de x + (pi/2)
Vos réponses ne sont pas un développement dans cet étalon

C'est moi qui comprends mal.
Que veut dire simple dans "équivalent simple" ?
Par ailleurs, dans mon esprit, donner un équivalent c'est déjà faire un développement limité.

Il n'y a pas de définition mathématique de "simple". Mais tout le monde sera d'accord pour dire que est plus simple que (il n'y a plus de sinus à l'intérieur du logarithme). Pas toi ?
Et si tu penses que donner un équivalent c'est faire un développement limité, revois tes définitions ! La partie régulière d'un DL est un polynôme, et il n'y a aucune raison pour qu'un équivalent de , disons au voisinage de 0, soit une puissance de .

"La partie régulière d'un DL est un polynôme"
D'accord si l'on sous-entend qu'on développe selon les puissances entières positives de x.
ce n'est déjà plus vrai au voisinage de l'infini où l'étalon par défaut sera alors les puissances négatives ...
Pour se satisfaire des équivalents dits plus simple donnés, ne faudrait-il pas montrer au préalable que par rapport au filtre des voisinages épointés à droite de pi/2, la fonction ne se développe pas avec une partie principale non nulle selon les puissances entières positives de x-pi/2 ?

Au voisinage de l'infini, c'est toujours un polynôme, en 1/x !
Plus que d'employer des gros mots comme "filtre des voisinage épointés" réfléchis un peu. Quand tend vers par valeurs supérieures, avec , est-ce que est équivalent à une puissance de ?

Pour moi, un polynôme en 1/x n'est plus un polynôme.
La fonction n'a pas de développement suivant les puissances de x-pi/2 transformées en étalon par le filtre des gros mots parce qu'une condition nécessaire est qu'elle ait une limite finie, ce qui n'est pas.
C'est l'inexistence de ce développement qui fait qu'on se satisfasse des équivalents donnés, ce je voulais simplement faire toucher du doigt.

D'ailleurs n'y a t il pas un développement asymptotique au voisinage à droite de pi/2, ce qui fournirait un développement qu'on pourrait juger plus "simple" ?

Je voulais dire : ce qui fournirait un équivalent

En fait je crois que je m'exprime mal.
Si l'on demande un équivalent simple de cotg(x) au voisinage (épointé) de 0
et que l'on réponde 1/sin(x)
Cette réponse vraie sera déclarée peu bonne
parce qu'il y a 1/x plus simple.