Bonjour tout le monde,

Je vous rédige un exercice pour trouver le DL à l'ordre 3 en 0 de arcsin(x).

arcsin est une fonction impaire. Donc on a

arcsinx= arcsin'(0)x+ + x^3 eps(x)   (je note eps la fonction epsilon)

arcsinx= x + + x^3 eps(x)

on a:

sinz= z- z^3 + z^3 eps(z)
et  sin (arcsin x)=x

En posant z= arcsinx  on obtient:

x= arcsin x - (arcsin^3 x)/3 + x^3 eps(x)
= x+ - ()^3/3 + x^3 eps(x)
= x+ - x^3/3 +  x^3 eps(x)

d'où   - x^3/3 =0
=  1/3

finalement,
arcsin x= x + x^3/3 + x^3 eps(x)