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DL6 de arcsin²(x)
Bonjour à tous,
j'aurais besoin d'aide pour résoudre le DL6 de arcsin²(x).
J'ai commencé par dire que arcsin²(x) = arcsin(x)*arcsin(x)
Donc j'ai cherché le DL3 de arcsin(x) en intégrant le DL2 de 1/(sqrt(1-x²)).
Je trouve finalement arcsin x = x + (x^3)/6 + o(x^3).
Mais ensuite en développant arcsin x * arcsin x je ne trouve pas le résultat qu'il faut... est-ce que quelqu'un peut me dire ce qui cloche dans mon développement :
(x + (x^3)/6 + o(x^3)) * (x + (x^3)/6 + o(x^3))
=x² + (x^4)/3 + (x^6)/36 + ... avec des o(x^3)
Ai-je le droit de dire que (x^3)/6 * o(x^3) = (x^6)/6 ? Ca me parait faux puisque par définition o est un reste ?
(Le résultat à trouver est x^2 + (x^4)/3 + (8x^6)/45 + o(x^6)).
Merci d'avance pour votre aide,
Bonne journée
Bonjour
Tu as trouvé toi-même le défaut. Pour avoir un développement à l'ordre 6 d'un produit, il faut développer chaque terme à l'ordre 6. Ton développement de l'arcsin ne te permet pas d'aller plus loin que l'ordre 3. En jouant sur la parité, on peut dire que ton développement est en fait à l'ordre 4, mais ça n'avance pas beaucoup!
Bonjour,
Donc si j'ai bien compris il faudrait que je trouve le développement limité d'arcsin x à l'ordre 6 plutôt qu'à l'ordre 3 ?
Ce serait arcsin x = x + (x^3)/6 + 3(x^5)/40.
C'est bien ça ? Puis développer ?
Très bien, j'ai trouvé le résultat.
Mais ça m'a paru quand même assez difficile, car j'ai eu besoin de la calculette pour faire (x^6)/36 + 2(3x^6)/40. Ce DL est très technique je trouve.
Merci beaucoup,
bonne journée
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