Excusez-moi,je ne veux pas vous énerver en insistant, mais j'ai
vraiment besoin d'aide! Je ne comprend strictement rien, et
ma prof veut faire compter ce dm coef 3! et avec un 0 coef 3,ca va
me descendre encore + ma moyenne et j'ai peur de ne pas pouvoir
passer en 1ere justement à cause de mes lacunes dans les matières
scientifiques!
merci d'avance     

C'est un peu tard de poster un message à 20h29 et vouloir une
réponse pour le lendemain.  

Je pense, de plus, qu'il y a au moins une erreur d'énoncé.
  

Dans l'exercice 1, ce devrait être:
AOB est un triangle RECTANGLE isocèle en O ...

Dans ces conditions:

1)
(OB) est perpendiculaire à (OA) par hypothèse.
(SP) est perpendiculaire à (OA) par hypothèse.
-> (OB) // (SP)  car elles sont toutes perpendiculaires à un même droite.

Angle(RSM) = angle(ABO)  comme angle à cotés directement //.
angle(SRM) = angle(BOA) = 90° par hypothèse.

Des 2 lignes précédente, on conclut que les triangles RSM et OBA sont
semblables.

Comme OBA est un triangle rectangle isocéle, le triangle RSM l'est
également.
---
2)
Les triangles SPA et BOA sont semblables (leurs cotés sont // 2 à 2 et
par là leurs angles sont égaux 2 à 2) ->

OB/SP = OA/AP
1/(MS+MP) = 1/(OA-OP)
1/(MS+x) = 1/(1-y)

MS+x = 1 - y
MS = 1 - y - x

Dans le triangle rectangle isocèle RSM, Pythagore ->
MR² + SR² = MS²
mais MR = SR ->
2.MR² = MS²
MR² = (1/2).(1 - y - x)²
---
3)
f(M) = MP² + MQ² + MR²
f(M) = x² + y² +  (1/2).(1 - y - x)²
---
4)
a)

f(M) >= (1/4)
x² + y² +  (1/2).(1 - y - x)² >= (1/4)
4(x²+y²) + 2(1-y-x)² >= 1
4(x²+y²) + 2(x+y-1)² >= 1
4(x²+y²) + 2(x+y-1)² -1 >= 0
---
b)
Encore une erreur d'énoncé    , cela devrait être:
Démontrer que:
4(x²+y²) + 2(x+y-1)² -1  = 6(x+(y-1)/3)² + ((V2(1-4y))/V6)²


4(x²+y²) + 2(x+y-1)² -1
= 4x² + 4y² + 2(x²+y²+1+2xy-2x-2y) - 1
= 6x² + 6y² + 4xy - 4x - 4y + 1   (1)


6(x+(y-1)/3)² + ((V2(1-4y))/V6)²
= 6(x² + ((y-1)²/9) + (2/3)x(y-1)) + (1-4y)²/3
= 6x² + 2(y²-2y+1)/3 + 4xy - 4x + (1+16y²-8y)/3
= 6x² + 2(y²-2y+1)/3 + 4xy - 4x + (1+16y²-8y)/3
= 6x² + 6y² + 4xy - 4x - 4y + 1   (2)

(1) et (2) ->
4(x²+y²) + 2(x+y-1)² -1  = 6(x+(y-1)/3)² + ((V2(1-4y))/V6)²   (3)
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5)
f(M) >= (1/4) si 4(x²+y²) + 2(x+y-1)² -1 >= 0
Or (3) montre que 4(x²+y²) + 2(x+y-1)² -1 >= 0 puisqu'il est égal
à la somme de 2 carrés.

On aura donc toujours f(M) >= (1/4)
La valeur min de f(M) = 1/4, elle est atteinte pour x = y = 1/2, donc
pour M placé au milieu de [AB].

(Peut-on encore dire alors que M est à l'intérieur du triangle, je pense
que oui, il est à l'intérieur du triangle mais pas strictement
à l'intérieur du triangle).
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Sauf distraction.     

Exercice 2.

1)
Pythagore dans le triangle HEG:
EH²+HG² = EG²
a²+a² = EG²
EG² = 2a²
Or EP = (EG)/2 ->
4.EP² = 2a²
EP² = a²/2
EP = a/V2   (avec V pour racine carrée).
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2)
Pythagore dans le triangle AEP:
AP² = AE² + EP²
AP² = a² + (a²/2)
AP² = 3a²/2
AP = a.V(3/2)
AP = a.V(3*2/2*2)
AP = (a.V6)/2

Pythagore dans le triangle ABQ:
AQ² = AB² + BQ²
AQ² = a² + BQ²
Or BQ = EP comme demi diagonale de carrés isométriques (de cotés a)
->
AQ² = a² + (a²/2)
AQ = (a.V6)/2
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3)
PQ joint les milieux de 2 cotés du triangle EGB, il est donc // au 3
ème coté et en vaut la moitié.
-> PQ = EB/2
PQ = (a.V2)/2
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4)
Comme le triangle PAQ est isocèle en A, le triangle PAM est rectangle en
M.

PM = AP.sin(PAM)
Or PM = PQ/2 ->
(a.V2)/4 = (a.V6)/2.sin(PAM)
sin(PAM) = V2/(2V6) = 1/(2V3)
angle(PAM) = 16,78° à moins de 0,01° près
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5)
Comme le triangle PAQ est isocèle en A, angle(PAQ) = 2.angle(PAM)

angle(PAQ) = 2*16,78° = 33,56°
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Sauf distraction. Vérifie.    

J-P je te remercirai jamais assez pour ton aide! oui tu as raison,j'avais
oublier "triangle RECTANGLE". ma prof a été gentil et nous a laissé
jusqu'à demain pour le DM. J'ai vérifier,tout est bon!
merci beaucoup!