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DM arithmétique/divisibilité option Maths Expertes
Posté par Reofly19
Bonjour, j'ai un DM de maths expertes à rendre à la rentrée et je suis bloqué sur une question d'arithmétique. Pouvez-vous m'aider ? Voici l'énoncé de l'exercice :
" Soit n un entier naturel non nul.
1) Démontrer par récurrence que, dans la division euclidienne de 10n par 6, le reste est égal à 4.
2) On considère un entier naturel E à n chiffres. E peut donc s'écrire sous la forme :
E = an-1*10n-1+an-2*10n-2+...+ a1 *10+a0 = 
a[sub]k*10k pour k allant de 0 à n-1.
an-1,..., a0 sont les chiffres de E dans son écriture décimale.
Démontrer le critère de divisibilité suivant : "Si la somme du chiffre des unités de E et de quatre fois la somme de ses autres chiffres est divisible par 6, alors E est divisible par 6"".
Pour la première question j'ai trouvé sans problème que si 10k = 6q+4 alors 10k+1 = 6(10q+6) + 4. Cela c'est bon.
Mon problème est pour la deuxième question. Je n'ai aucune idée de par où commencer et je n'arrive pas à trouver de piste. C'est la que j'ai besoin de vous si vous avez des idées je suis preneur.
Cordialement.
Après le symbole somme c'est bien ak*10k (tout est sur la même ligne pas d'exposant). Je ne maitrise pas encore tout bien 
Bonjour, au dessus de somme c'est n-1 et non n.
Le chiffre des unités de E c'est a0 je pense.
Je ne comprend pas la deuxième question. Moi j'étais parti sur : 4*(n-11 ak*10k) + a0 = 6q mais je ne sais pas si c'est à cela que vous pensez.
Le chiffre des unités de E est a0.
Quatre fois la somme des autres chiffres est 4*(an-1+an-2+...+a1).
C'est ça ?
Je pense que je n'ai pas votre logique... Comment à partir de ça je prouve que si a0 + 4(an-1+...+a1) est divisible par 6, E l'est aussi ?
salut
1=1[6] ----> ao=ao[6]
10=4[6] ----> a1.10=a1.4[6]
10²=4[6] ----> a2.10²=a2.4[6]
103=4[6] ----> a3.103=a3.4[6]
.....ect
puis addtionne tout membre à membre
Merci mais je reconnais l'écriture de congruence que je n'ai pas encore étudié. J'ai vu cette année seulement les relations de divisibilité et la division euclidienne pour l'instant.
Merci quand même.
Reofly19 @ 21-10-2020 à 15:09
Je pense que je n'ai pas votre logique... Comment à partir de ça je prouve que si a0 + 4(an-1+...+a1) est divisible par 6, E l'est aussi ?
grace à la question 1/ !!!
Je pense que je n'ai pas votre logique... Comment à partir de ça je prouve que si a0 + 4(an-1+...+a1) est divisible par 6, E l'est aussi ?
tu sais que pour tout n :
donc dans l'expression de E remplace 10^n par 6k_n + 4...
Je commence à voir le cheminement.
Du coup j'ai E = an-1*10n-1+...+a1*101+a0 = an-1*(6kn-1+4)+...+ a1*(6k1+4) + a0
Après j'ai eu l'idée de factoriser par 6k+4 mais comme k n'est jamais identique je ne pense pas que ce soit possible. Aussi je n'arrive pas à faire le lien entre la somme du chiffre des unités et quatre fois la somme des autres chiffres.
C'est gentil de m'aider jusque là est-ce que vous auriez pas une autre piste à me donner pour que j'arrive à démontrer le critère de divisibilité ?
Ok merci beaucoup je crois avoir trouvé ! Je revois ça bien demain et je ferai un point sur le forum donc si jamais vous avez du temps passez par la pour me corrigez si besoin 
Merci et bonne soirée