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DM [Complexes]
Bonsoir,
Voila j'ai un DM a rendre pour Jeudi et j'avoue être un peu perdu.
Soit les points A, I et B d'affixes respectives 1, 2 et 3.
On note P' le plan privé de I.
A tout point M de P' d'affixe z, on associe le point M' d'affixe:
z'=(1/(z-2))+2
1) Determiner les points M de P' pour lesquels M et M' sont confondus.
2) Calculer en fonction de z, les affixes des vecteurs: IM et IM'
En déduire une relation entre IM' et IM puis une relation entre les angles (
,IM') et (,IM ).
Placer le point M0 d'affixe z0=2+2e(i pi/3) puis le point M'0 en utilisant ce qui précede.
3) On suppose que M est un point de P' different de A et de B.
Calculer z'-1 et z'-3 en fonction de z.
Verifier que:
(1-z')/(3-z') = -(1-z)/(3-z)
En déduire une relation entre M'A / M'B et MA/MB puis une relation entre les angles : (M'B, M'A) et (MA,MB).
Demontrer que, si M appartient à la médiatrice de [AB], il en est de même pour M'
Ps: Les vecteurs sont soulignés.
Merci d'avance.
Bonjour,
Voici un début d'explication :
1) Rechercher les points M tels que M=M' revient à chercher les points invariants par la transformation, c'est-à-dire résoudre l'équation z'=z.
En résolvant l'équation , on obtient l'équation du second degré :
dont les solutions sont faciles à trouver (on trouve les affixes de A et de B).
2) L'affixe de est
; celle de
est
, soit
.
La distance IM' est égale à |z'-2|, celle de IM est égale à |z-2|.
De ce qui précède, on déduit que .
L'angle est l'argument de
; de même l'angle
est l'argument de
.
Or on sait que .
Donc, puisque , on en déduit que
, donc, finalement
.
Je te laisse chercher un peu la suite...
3)z'-1=(1/(z-2))+2-1=1/(z-2) +1=(z-1)/(z-2)
z'-3=1/(z-2) -1=(3-z)/(z-2)
(1-z')/(3-z')=[(z-1)/(z-2)]/[(3-z)/(z-2)]=(z-1)/(3-z)=-(1-z)/(3-z)
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