Bonjour
ce DM est pour vendredi!

voila je n'arrive pas a resoudre ces exercices!!

I) * Irrationalité de racine de 3

Soit a un entier naturel, si on effectue la division euclidienne de a par 3, alors il y a trois restes possibles: 0,1 ou 2.
Ainsi, si a peut s'écrire de trois façons possibles :
3p, 3p+1, 3p+2, avec p un entier relatif.
a est divisible par 3 si, et seulement si le reste de division euclidienne de a par3 est 0, c'est a dire si a peut s'écrire sous la forme 3p.

1)Montrer que si p² est divible par 3, alors p estdivisible par3.On pourra faire un raisonnemnt par l'absurde en supposant que le reste de la division euclidienne de p par 3 n'est pas 0.
2)On suppose que 3 appartient a . Ecrire:
3= a sur b , avec a et b deux entiers naturels non nuls et a sur b une fraction irréductible.
Prouver que a² est divisible par 3.
3)En déduire que a est divisible par 3, ainsi que b².
4)Mettre en evidence une contradiction et conclure.


II) * Stabilité de et

1)Démontrer que:
si a et b appartiennent à , alors a+b appartient à .
2)Démontrer que:
si a et b appartiennent à , alors a fois b appartient à .
3)Démontrer que:
si a appartient à , alors 1 sur a appartient à .
4)Démontrer les trois propriétés précedentes avec l'ensemble .


III) * Divisibilité

1)Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est divisible par 2.
2)Démontrer que le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6.


Voila , en esperant que vous y arriverez
Merci d'avance!
Pierre