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Dm de maths prépa, exercice sur les césures de Q
Bonjour tout le monde , alors voilà j'ai un exercice sur les césures de 
, dans la première partie on nous définit ce qu'est une césure de :
On appelle césure de tout ensemble A 
qui vérifie les trois propriétes suivantes :
1-A
2-
a
A, 
x , (x<a 
x A)
3- a A, 
a' A, a<a'
Ensuite on nous donne un ensemble
B√2 = { x | x < 0 ou x2 < 2 }
On nous demande de montrer que cet ensemble est une césure de
J'ai donc montrer les deux premières propriétés d'une césure de , mais je galère vraiment a montrer la troisième
Je suppose qu'il faut montrer que B√2, possède un maximum, ou un majorant mais je ne sais vraiment pas comment faire
Je vous remercie par avance de votre aide
Devilboys
salut
pour tout élément a de A tu cherches donc à montrer qu'il existe b dans A tel que
ou encore en posant b = a + h
il n'est pas difficile de trouver un rationnel h (dépendant de a éventuellement) vérifiant cette inégalité ....
ça y est ça recommence !!!
salut
pour tout élément a de A tu cherches donc à montrer qu'il existe b dans A tel que
ou encore en posant b = a + h
il n'est pas difficile de trouver un rationnel h (dépendant de a éventuellement) vérifiant cette inégalité ....
Bonjour
Vous avez essayé avec la densité de Q dans R ?
Les césures étant une façon de définit
, je ne pense pas que ce soit une bonne idée.
salut
il n'est pas difficile de trouver un rationnel h (dépendant de a éventuellement) vérifiant cette inégalité ....
Tu vas avoir du mal à trouver un h>0 ...
L'idée est sans doute plutôt de raisonner par l'absurde. Si 3- est fausse, sa négation signifie exactement que B admet un maximum M. Il faut alors montrer que l'on a une contradiction, je ne sais pas comment (montrer que M2 est égal à 2 ?).
3- signifie exactement que B n'a pas de maximum.
Les césures s'appellent aussi coupures de Dedekind: 
Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que B a un maximum et montrer que cela entraine une contradiction.
S'il en a un, 3- est fausse, donc B n'est pas une césure ... On veut démontrer de B est une césure ...
Ah oui ça y est je vois l'idée , si B a un maximum de serait √2, or √2 n'est pas rationnel, donc il y'a contradiction, ce qui signifie que B n'a pas ne max et donc que 3 est vraie pour B
En revenant plutôt à 3_ et d'une certaine façon à l'idée de densité, si a2<2, il y a (strictement) entre a2 et 2 au moins un rationnel (en fait une infinité). Il suffit d'en trouver un qui soit un carré d'un rationnel, ce qui doit pouvoir se faire.
Bonjour 
Si , alors 1/2 convient.
Si 0 < a < b sont deux entiers naturels, pourquoi, en faisant tendre vers l'infini, on ne trouverait pas un
qui ne conviendrait pas ?
Si , il me semble qu'il existe une infinité de n qui vérifient
, non ?
Il suffit de trouver n tel que
ouais ...
si alors en considérant la suite
qui tend vers a on va trouver un entier m tel que si n > m alors
(*)
d'ailleurs l'inéquation admet deux racines de signes contraires ...
si (*) n'est pas vraie alors cela contredit la propriété 3 ... en en revenant à un raisonnement par l'absurde ...
msg aux modérateurs : pourquoi supprimer le msg de Devilboys à 12h26 dans lequel il avait corrigé les erreurs de son post initial ? 
Jezebethcarpediem comment est ce que vous posez cette suite quel est le lien entre cette suite , a et b ?
On veut trouver un rationnel un peu plus grand que a, tel que son carré soit inférieur à 2. Il faut donc ajouter à a un petit nombre, par exemple un nombre de la forme 1/n, dont on est sûr qu'il est rationnel, et que l'on peut choisir aussi petit que l'on veut, en prenant n assez grand. Reste à trouver ce n, on tombe sur une inéquation du second degré de variable n: on sait faire. (jsvdb l'a appelé n, carpediem l'a appelé h, mais c'est pareil).
Tout-à-fait, je préfère amplement ceci :
Soit tel que
ou
:
- Si alors 1/2 convient
- Si alors cherchons
tel que
Il vient .
Or donc le
existe.
Si on n'est pas convaincu, ce qui serait dommage en maths sup, alors en posant , on résout l'inéquation en h dans
.
Comme , on a le résultat voulu.
ouais comme je l'ai dit à 15h37 l'ensemble des solutions de mon inéquation est un intervalle contenant 0 ...
on y trouvera donc un rationnel convenable ...
Merci beaucoup, est ce que si j'ai d'autres questions sur cet exercice je peut les reposer ici, où il faut que je recréé un topic dédié ?
Alors voilà dans une seconde partie de l'exercice on définit R comme l'ensemble des césures de
Et on définit la relation binaire £ ( le symbole dans l'exercice est celui ci : 
mais arrondi ), cette rallume n' est définie de la manière suivante :
A £ B 
A B
Avec A et B deux césures de
Et on demande de montrer que £ est une relation d'ordre total sur R
Désolé j'ai fait quelques fautes , voici la version corrigée :
Alors voilà dans une seconde partie de l'exercice on définit R comme l'ensemble des césures de
Et on définit la relation binaire £ ( le symbole dans l'exercice est celui ci : mais arrondi ), cette relation est définie de la manière suivante :
A £ B A B
Avec A et B deux césures de
Et on demande de montrer que £ est une relation d'ordre total sur R
Il vient
Or
Si on n'est pas convaincu, ce qui serait dommage en maths sup, alors en posant
Comme
Qu'on soit en math sup ou pas, un raisonnement précis est toujours plus convaincant et l'expliciter est un excellent apprentissage des méthodes de l'analyse.
L'inconvénient de la méthode ci-dessus est qu'elle fait appel implicitement à la racine carrée dans
... que l'on est en train de définir à partir de . Il vaut donc mieux rester dans . Pour obtenir h tel que 2h+h2=h(2+h)
On cherche un h>0 assez petit. On peut donc le chercher par exemple <1.
On a alors h(2+h)<3h
Choisissons alors h rationnel à la fois strictement plus petit que 1 et que (2-r2)/3, qui existe d'après les propriétés des rationnels (h=inf(1/2,(2-r2)/4 par exemple). h répond à la question, sans résoudre d'inéquation du second degré dans un ensemble qu'on ne connaît pas encore, contrairement à la mauvaise idée que j'ai suggéré plus haut.
D'accord avec toi, boninmi, quant au principe d'éviter le serpent qui se mord la queue.
On peut aussi trouver le minimum de qui est en
avec
est strictement croissante sur
donc il existe un h > 0 qui répond au problème.
Mais bon, ça fait encore un peu artificiel au regard d'une démonstration purement arithmétique.
Merci beaucoup, mais du coup est ce que vous pouvez m'aider pour la deuxième question ?
L'inclusion est une relation d'ordre. Tu peux donc en déduire facilement que c'est le cas pour £ (réflexivité, antisymétrie, transitivité) en revenant à la définition.
L'essentiel de la question est donc de montrer que cet ordre est total Là aussi, il s'agit de vérifier la définition, c'est à dire que pour toutes césures A et B, on a soit A£B, soit B£A.
Début du raisonnement: si A£B est faux, A n'est pas inclus dans B, donc il y a un élement de A qui n'est pas dans B, ce qui signifie que ...
Remarque: cette construction de
est un grand classique et tu peux t'aider aussi d'une recherche bien faite sur la toile. Que tu trouves toi même les sites pertinents serait mieux que je fasse tout le travail à ta place. 
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