Annuler
connectez vous
- Arithmétique : divisibilité, PGCD et PPCM, Nombres premiers
- Des mathématiciens célèbres : Fermat et Gauss
- Fonction exponentielle - Fiche de Cours terminale
- Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
- Fiche sur les nombres complexes - terminale
- Limites de fonctions - Cours sur les limites
- Cours sur les suites en Terminale S
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ArithmétiqueTopics traitant de Arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Dm de spé maths raisonnement par récurrence
Posté par Katsunara
Bonjour, j'ai un dm de maths à faire, j'ai déjà commencé mais je bloque sur une question...
L'énoncé est le suivant :
On cherche à determiner les couples d'entiers naturels (x;y) tels que (1/x)+(1/y) = 1/5
1)Démontrer que pour x et y non nuls, l'égalité précédente est équivalente à (x−5)(y−5)=25
2)En déduire tous les couples d'entiers solutions
3) Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, 7 divise 3^(2n+1)+2^(n+2)
Pour la 1 j'ai bien réussi grâce à la propriété a/b + c/d = (ad+bc)/bd
Pour la 2 j'ai trouvé les couples d'entiers (0;0) (6;30) et (10;10) car 25 a 6 diviseurs : -25,-5,-1,1,5 et 25
Pour la 3 j'ai du mal, j'ai fait l'initialisation je trouve que P0 est vraie (7 divise 7)
Cependant pour montrer que Pn+1 est vraie je n'y arrive pas trop
J'ai déjà fait :
Pn= 3^(2n+1) + 2^(n+2)
Pn+1 = 3^(2(n+1)+1) + 2^(n+3)
Pn+1= 3^(2n +3) + 2^(n+3)
Après cela je suis bloquée.
Merci de votre aide
Merci pour votre réponse!
Mais je ne comprends pas comment vous obtenez ce résultat ? Pourriez vous développer svp?
et est ce que cela suffit pour montrer que c'est divisible par 7?
Citation :
Je l'ai mis car 0 est entier il me semble :/
Je l'ai mis car 0 est entier il me semble :/
Oui mais le couple
Citation :
Mais je ne comprends pas comment vous obtenez ce résultat ? Pourriez vous développer svp?
Mais je ne comprends pas comment vous obtenez ce résultat ? Pourriez vous développer svp?
C'est à toi de développer (éventuellement chaque membre) pour prouver l'égalité:
Citation :
-7\times 2^{n+2})
Citation :
et est ce que cela suffit pour montrer que c'est divisible par 7?
et est ce que cela suffit pour montrer que c'est divisible par 7?
Dans une récurrence, pour l'hérédité, il ne faut pas oublier l'hypothèse de récurrence.
Ah oui effectivement ! Je vais modifier ma réponse alors, merci beaucoup
Pour l'exercice 2 j'ai noté (pour l'hérédité) : on suppose qu'il existe un certain rang n pour lequel Pn est vraie. On veut montrer que dans ces conditions, Pn+1 est vraie.
Et la le soucis du développement commence :/
J'ai une petite idée..
= 3^(2n+3) + 2^(n+3)
= 9*3^(2n+1) + 2*2^(n+2)
= 9*3^(2n+1) + 9*2^(n+2) - 7*2^(n+2)
= 9*(3^(2n+1)+2^(n+2)) - 7*2^(n+2)
Pn+1 est divisible par 7 donc, Pn+1 est vraie
On peut donc dire que la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc elle esy vraie pour tout entier naturel n
Est-ce correct ?
Oui, ton calcul est juste.
Par contre la rédaction est un peu olé olé: je vois pas comment une proposition () peut être divisible par 7.
D'autre part, tu ne fais à aucun moment mention de l'hypothèse de récurrence. C'est tout de même primordial!
Pour cette rédaction, tu peux jeter un œil dans ton cours; il en est certainement question.
Effectivement c'est assez maladroit ! Je vais tacher de rectifier tout ça, merci de votre aide. Bonne journée