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DM:inegalité isentropique
Bonjour,pourriez vous m'aider a resoudre mon dm
Merci d'avance pour votre aide
voici le sujet:
On note cot la fonction cotangente definie sur 
-{
/2+2k/k
} par cot(x)=cos(x)/sin(x)
Inegalité de Poincaré
FC1(,) est 2-periodique et 0
2f(x)dx=0
(a) i.Justifier l'existence d'un 
[0,]tel que f()=f(+).
ii.Montrer que g(x)=(f(x)-f())cot(x-)definit une application prolongeable par continuité sur [0,2].
iii.Montrer que h(x)=(f(x)-f())2cot(x-)definit une application prolongeable de facon C1 sur [0,2].Exprimer h' en fonction de f,f'etg.
(b)En considerant 02h'(x)dx,montrer que
02[f(x)-f() ]2dx=02[2f'(x)g(x)-g(x)2]dx.
En deduire que 02[f'(x)2-(f(x)-f())2dx=02[f'(x)-g(x)]2dx.
(c) i.Etablir l'inegalité(E):02f(x)2dx
02f'(x)2dx.
ii.Montrer que (E) est une egalité si et seulement si f est solution d'une equation differentielle que l'on explicitera,en precisant une condition initiale.
iii.Montrer que les solutions de l'equation differentielle precedente precedente(avec la condition initiale)forment un -espace vectoriel de dimension 2.En preciser une base.
(d)Soient T>0 et gC1(,)T-periodique tels que 0Tg(t)dt=0.Montrer l'inegalité de Poincaré:
0Tg(t)2dtT2/(42)0Tg'(t)dt
et preciser le cas d'egalité.
petit erratum c'est inegalité isoperimetrique et non inegalité isentropique
Inegalité isoperimetrique
Soit 
une courbe C1,simple et fermée d'aire A et de prerimetre P.On rapelle l'existence d'une representation parametrique
f:[0,P]
2
t
(x(t),y(t))
de classe C1 verifiant,pour tout t[0,P],x'(t)2+y'(t)2=1,ce qui s'interprete physiquement par le fait que la courbe est parcourue a vitesse constante egale a 1.Rappelons que f(0)=f(P).On se propose d'etablir l'inegalité AP2/(42)avec egalité si et seulement si est un cercle.
(a) Montrer qu'il suffit de traiter le cas ou 0Px(t)dt=0,ce que l'on suppose desormais.
(b) Que vaut 0P(x'(t)2+y'(t)2)dt?En deduire
P-((4)/P)*A
0P(((2)/P)x(t)-y'(t))2dt
en precisant le cas d'egalité.
(c) Conclure
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