Bonjour, j'ai un DM à rendre mardi prochain sur l'intégration et je suis bloquée au tout début, pouvez-vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé :
Pour tout entier naturel n, on pose : un=[0;1] ent/1+et dt
1. Calculer u1.
2. Calculer u0+u1 et en déduire la valeur de u0.
3. Démontrez que pour tout entier naturel n non nul, on a un+un+1= en-1/n
4. Calculer les valeurs exactes de u2 et u3.
5. Compléter l'algorithme suivant pour qu' il permette de calculer u8 :
u <-- ...
Pour k allant de ... à ... faire
u <-- ...
Fin du pour
(<-- représente une flèche, désolée je n'ai pas trouvé comment la faire autrement 😅)
6. Justifier que un0 pour tout entier naturel n non nul.
7. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, on a :
un+1-un=[0;1] ent(et-1)/1+et
dt
8. En déduire le sens de variation de la suite (un).
J'ai répondu à la question 1 : j'ai primitivé la fonction et j'ai trouvé u'/u ln (u) ln (1+et), donc pour trouver u1 on a F(1) - F(0) ln (1+e1) - ln (1+e0)= ln (1+e1)-ln (2) 0,620.
Je suis bloquée à la question 2...
Merci d'avance pour votre aide.
Ah oui désolée 😅
Pour tous les calculs de ce DM toutes les expressions sont sur et sous la barre de division il n'y en a aucun en dehors de celle ci. Vous voulez que je les recopie quand même pour être sûr ?
Et merci, je trouve [0;1] (e1)/(et) mais je ne sais pas comment retrouver u0 avec ça...
J'avais fait u0+u1
= [0;1] (e0)/(1+et) dt + [0;1] (e1)/(1+et) dt
=[0;1] (1)/(1+et) dt + [0;1] (e1)/(1+et) dt
= [0;1]
(1+e1)/(1+et) dt
Ok merci beaucoup, je ferai les autres questions demain, je vous redemanderais sûrement si j'ai besoin d'aide mais j'essaierai d'abord seule. Merci de votre aide !
Bonjour, pour la question 3. j'ai commencé à la faire mais je suis bloquée à partir d'un certain point...
Voici ce que j'ai trouvé : (désolée j'ai essayé d'utiliser les caractères du site mais mon portable beug et je n'ai pas réussi...)
un + un+1 = [0;1] (ent)/(1+et)dt + [0;1] (e(n+1)t)/(1+et) dt
=[0;1] (ent) / (1+et)dt + [0;1] (ent+et)/(1+et) dt
= [0;1] (ent+ent+et)/(1+et) dt
= [0;1] (2ent)/1 dt
=[0;1] 2ent dt
Et là je suis bloquée, et je ne suis pas sûre que mes calculs soient bons...
alors trouver une primitive de e^(nt) est facile
par contre il y a un coefficient 2 qui me semble bizarre
je vais regarder
tes calculs de somme de fractions sous le signe intégrale sont faux effectivement
refais le....(c'est un simple problème de fraction)
Bonjour, merci pour votre réponse et désolée je n'avais pas de connexion internet ces derniers jours, j'ai refait le calcul et je trouve
[0;1] (ent+ent X et)/(1+et) et je ne sais pas comment le simplifier...
Sinon j'ai fait la question 4 et j'ai trouvé :
u2=[0;1] e2t/(1+et) dt
=[ln (1+et)][0;1]
=ln (1+e2)-ln (1+e1)
=0,8136663235
Et par le même principe,
u3 = ln (1+e3)-ln(1+e2)
=0,9216593405... Là encore je ne sais pas si j'ai bon.
Donc je tombe bien sur
entdt
=[ent/n][0;1]
=(en)/(n) - (e0)/(n)
=(en-1)/n.
Merci beaucoup !
Et pour la 4 du coup vous en pensez quoi svp ?
c'est faux !! tu sais, il y a rarement des mystères à ton niveau
quand tu comprends que la question 4 suit la question 3....ça aide ! .....
Aussi j'ai complété l'algorithme de la question 5 (compléter l'algorithme suivant pour qu'il permette de calculer u8) mais là encore je ne suis pas sure de moi, surtout pour le dernier point à compléter...
u<--k
Pour k allant de 0 à 8 faire
u<-- [0;1] (ekt)/(1+et) dt
Fin du pour
Question 4 : je trouve
u1+u2= e1-1
=1,718281828
u2=(u1+u2)-u1= 1,098167321
(Car u1=0,620114507 d'après la question 1)
et u2+u3=(e2-1)/2
=3,194528049
Donc u3=2,096360728.
C'est bon j'ai compris, je dois laisser avec les ln.
Donc je trouve u2=(e1-1)/(1) - u1
=(e1-1)-ln(1+e1)+ln(2).
u3= (e2-1)/(2) - e1+1+ln(1+e1)-ln(2)
Super merci beaucoup !
Sinon j'ai réussi à le finir mais en sautant la question 6... Je n'arrive pas à terminer l'hérédité de la récurrence...
Initialisation : au rang n=0, u0=0,3798854930 donc P(0) est vraie.
Hérédité : on suppose qu'a un rang k, P(k) est vraie c'est à dire que uk=[0;1](ekt)/(1+et) dt0.
On doit montrer que P(k+1) est vraie c'est à dire que uk+1=[0;1](e(k+1)t)/(1+et) dt 0 est vraie.
Et la je n'y arrive pas...
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