salut

qu'a tu fait pour la 2 ?

Bonjour,

1) erreur de calcul
le reste r de la division de ce A par 97 n'est pas 0, donc K = 97 - r n'est pas 97

2a) quel est le reste de la division de 10¹² par 97 ? etc

Bonjour flight
je te laisse poursuivre.

Bonjour, je suis également en math expertes et ma professeur m'a donné exactement le même DM.
Voici ce que j'ai fait pour la question 2)a) ; pouvez-vous me dire si cela est juste s'il vous plaît ?

On souhaite montrer que K = 97 - r1 où r1 est le reste de la division euclidienne de 50S + 27N + M par 97, soit 50S + 27N + M ≡ r1[97]

On sait que K = 97 - r avec r le reste de la division euclidienne de A par 97, soit A ≡ r [97]

Prenons l'exemple de l'identifiant A = 2021299320121.

Or on a précédemment montré que :

A ≡ 50S + 27N + M[97] (donc r = 50S + 27N + M)

A ≡ 81[97] (cf. question 1)

Donc : 50S + 27N + M = 81

et r = 50S + 27N + M = 81

On a :

50S + 27N + M ≡ r1 [97]

81 ≡ r1 [97]

Or 81 < 97 alors 81 = 81 + 0*97

Donc : 81 ≡ 81 [97]

Soit r1 = 81

On a donc : r = r1 (car r1 est le reste de la division euclidienne de 50S + 27N + M par 97).

Ce raisonnement est vrai pour tout identifiant A (car r < 97 pour tout identifiant A)

Ainsi, d'après la définition, on a K = 97 - r1 ( où r1 est le reste de la division euclidienne de 50S + 27N + M par 97).

* à la question 2)b)

Bonjour, je suis en math expertes et j'ai un DM a rendre d'ici peu. Je n'ai pas rencontré de soucis pour les questions 1 et 2a mais la 2b me pose un peu plus de soucis ; je ne suis pas vraiment sûr de ma réponse, ou du moins que ce soit le format attendu... Pouvez-vous m'éclairer à ce sujet s'il vous plaît et me dire si cela est juste ?

le sujet :

Le numéro INSEE que l'on notera A est formé de 13 chiffres, dans l'odre:
-le sexe (1 homme, 2 femme)
-les deux derniers chiffres de l'année de naissance
-le mois de naissance en deux chiffre
-lieu de naissance en cinq chiffre (départment puis commune)
-le numero d'ordre d'inscription des naissances de la commune (en trois chiffres)
Une clé de contrôle K de deux chiffre, complète le numero INSEE.
r étant le reste qe la division de A par 97, on pose K tel que K = 97 - r

1)on donne A=2021299320121. Déterminez la clé de ce numéro. (j'ai trouvé K=16)

2)a)Si A=S*1012+N*106+M où S,N,M entiers naturels,
monter que A50S+27N+M [97]
b)En deduire que K = 97 -r1 où r1 est me reste de la div. euclidienne de 50S+27N+M par 97

ma réponse au 2b :

On souhaite montrer que K = 97 ? r1 où r1 est le reste de la division euclidienne de 50S + 27N + M par 97, soit 50S + 27N + M ? r1[97]

On sait que K = 97 ? r avec r le reste de la division euclidienne de A par 97, soit A ? r [97]

Prenons l?exemple de l?identifiant A = 2021299320121.

Or on a précédemment montré que :

A ? 50S + 27N + M[97] (donc r = 50S + 27N + M)

A ? 81[97] (cf. question 1)

Donc : 50S + 27N + M = 81

et r = 50S + 27N + M = 81

On a :

50S + 27N + M ? r1 [97]

81 ? r1 [97]

Or 81 < 97 alors 81 = 81 + 0*97

Donc : 81 ? 81 [97]

Soit r1 = 81

On a donc : r = r1 (car r1 est le reste de la division euclidienne de 50S + 27N + M par 97).

Ce raisonnement est vrai pour tout identifiant A (car r < 97 pour tout identifiant A)

Ainsi, d?après la définition, on a K = 97 ? r1 ( où r1 est le reste de la division euclidienne de 50S + 27N + M par 97).

*** message déplacé ***multipost interdit ***

salut

revois l'énoncé de la question 2/ ... car il y a des imprécisions ...

d'autre part un exemple n'est pas une preuve ...

2b/ se déduit immédiatement de 2a/

ha ben l'énoncé a changé avec le multipost ...

je laisse poursuivre les premiers intervenants ...

Bonjour, merci pour votre réponse, les imprécisions se trouvent dans ma réponse du 2b ?
mon soucis principal se trouve ici :
je ne parviens pas à faire le lien entre
A=S*1012+N*106+M
A ≡ 50S + 27N + M[97]
50S + 27N + M ≡ r1[97]

(oui désolé pour le multipost je ne recommencerait pas, ça y est j'ai compris comment ça marche , l'énoncé change comment ?  )

parce que ce n'est pas 1012 et 106 ...

Bonjour carpediem
ni flight ni mathafou ne semblent en ligne, tu peux suivre...surtout que l'aide antérieure n'a pas été fournie
Bonne journée

Ah oui mince, les caractères ne sont pas bien passés, oups
je voulais écrire :
A=S*10^12+N*10^6+M
A ≡ 50S + 27N + M[97]
50S + 27N + M ≡ r1[97]

bonjour malou

merci et à toi aussi

ok ...

A = 10¹²S + 10⁶M + N

et on cherche A modulo 97 ... il faut donc s'intéresser aux deux puissances de 10

pour la 2a ? Si oui, voici ce que j'ai bien retrouvé A ≡ 50S + 27N + M[97]On a : A = S*10^12 + N*10^6 + M

On remarque que : 10^2 ≡ 3[97]

<=> 10^12 ≡ 36[97]

<=> 10^12 ≡ 729[97]

<=> 10^12 ≡ 50[97]


De plus, si 10^2 ≡ 3[97]

<=> 10^6 ≡ 33[97]

<=> 10^6 ≡ 27[97]


Enfin, on a : 1 ≡ 1[97]

Donc A = S*10^12 + N*10^6 + M

et A ≡ 50S + 27N + M[97]

j'ai reformulé ma réponse à la question 2b afin qu'elle soit générale et non plus particulière sur un exemple comme vous me l'avez fait remarqué (merci !). pouvez-vous me dire si cela est juste s'il vous plaît ?
voici ma réponse :

On souhaite montrer que K = 97 - r1 où r1 est le reste de la division euclidienne de 50S + 27N + M par 97, soit 50S + 27N + M ≡ r1[97]

On sait que K = 97 - r avec r le reste de la division euclidienne de A par 97, soit A ≡ r [97] (r < 97)


Or on a précédemment montré que :

A ≡ 50S + 27N + M[97]

Donc : r = 50S + 27N + M (car A ≡ r [97] )

On a :

50S + 27N + M ≡ r1 [97]

r ≡ r1 [97]

Or r < 97 alors r = r1 + 0*97

On a donc : r = r1 (car r1 est le reste de la division euclidienne de 50S + 27N + M par 97).

Ainsi, d'après la définition, on a K = 97 - r1 ( où r1 est le reste de la division euclidienne de 50S + 27N + M par 97).

oui c'est cela ...

attention à certains exposants qui ne sont passés (à 11h17)

or 0 <= r < 97 et 0 <= r1 < 97 donc r = r1

est plus précis ...

D'accord merci beaucoup !

Pour la question 3b j'ai trouvé cela, est-ce que c'est correct ?
3)b)Montrez qu'une erreur sur un, et une seul, des chiffres du nombre A est détecté par la clé.
On considère le numéro INSEE correct : A =  S*10^12 + N*10^6 + M.
On procède à la décomposition de N afin de faire apparaître ses différents chiffres n0, n1, n2, n3, n4 et n5.
On a alors :
A =  S*10^12 + ( n5*10^5 +  n4*10^4 +  n3*10^3 +  n2*10^2 +  n1*10 +  n0)*10^6 + M
A =  S*10^12 + n5*10^11 +  n4*10^10 +  n3*10^9 +  n2*10^8 +  n1*10^7 +  n0*10^6 + M
(Après des calculs j'ai obtenu) :
A ≡ 50S + 5n5 +  49n4 +  34n3 +  81n2 +  76n1 +  27n0 + M[97]
supposons que l'erreur porte su n5
On a alors :
A' ≡ 50S + 5n5' +  49n4 +  34n3 +  81n2 +  76n1 +  27n0 + M[97]
et
A' =  S*10^12 + n5'*10^11 +  n4*10^10 +  n3*10^9 +  n2*10^8 +  n1*10^7 +  n0*10^6 + M
On a donc :
A - A' ≡ 5n5 - 5n5'[97]
A - A' ≡ 5(n5 - n5')[97]
Or n5 ≠ n5' (et n5 et n5' des entiers compris entre 0 et 9)
Supposons que l'erreur puisse porter sur l'ensemble des chiffres {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. Alors la différence entre n5 et n5' peut être égale à tous les chiffres de l'ensemble { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} (sans zéro car n5 ≠ n5'), ainsi qu'à leurs inverses.
On a alors : n5 - n5' C {-9 ; -8 ; -7 ; -6 ; -5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}
Dans le cas présent, A-A' (non congru )0[97]
Autre méthode, le tableau de congruence :
(n5 ≠ n5' (et n5 et n5' des entiers compris entre 0 et 9))
n5 - n5' ≡ ...[97]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5(n5 - n5') ≡ ...[97]
5
10
15
20
25
30
35
40
45
(j'espère que ce sera compréhensible, je narive pas à faire un tableau..)
Dans le cas présent, A-A' ≡ 0[97]

j'ai ensuite fait la même chose pour n0,n1,n2,n3 et n4. (que la méthode du tableau de congruence)
Ainsi, quelque soit le chiffre erroné de N (n0 ou n1 ou n2 ou n3 ou n4 ou n5), A-A' (non congru) 0[97]. A et A' n'ont pas le même reste lors de leur division euclidienne par 97 : la clef de contrôle détecte bien l'erreur.

n5 - n5' ≡ ...[97]                   /   1         /  2      /      3    /   4 /   5    /     6    /       7   /      8   /     9
__________________________/________/______/______/_____/______/______/______/______/_____________
5(n5 - n5') ≡ ...[97]       /       5      /  10    /  15/  20  /   25     /  30   /   35   /    40   /   45



(j'ai essayé de faire quelque chose ressemblant un peu plus à un tableau...)

Bonjour j'ai ce dm pour la rentrée et je bloqué totalement à partir de la question 2.a) ... Voici l'énoncé :
Le numéro INSEE d'une personne est inscrit sur sa carte vitale. Ce numéro d'identification unique A de chaque individu est formé de 13 chiffres :
le sexe (1 pour un homme et 2 pour une femme) ;
l'année de naissance (les deux derniers chiffres) ;
le mois de naissance (écrit avec deux chiffres) ;
le lieu de naissance (cinq chiffres correspondant au département et à la commune) ;
le numéro d'ordre d'inscription des naissances dans la commune (3 chiffres).

Une clé de contrôle K de deux chiffres complète le numéro INSEE.
La clé est calculée de la manière suivante : on calcule le reste r de la division de l'identifiant A par 97 et on pose alors : K=97−r.

1. On donne le numéro INSEE suivant : 2021299320121. Déterminer la clé de contrôle de ce numéro. J'ai trouvé K=16
2. a. En remarquant que A=S×10^12+N×10^6+M où S, N et M sont des entiers naturels, montrer que A≡50S+27N+M[97].
J'ai commencé par dire que A≡50S+27N+M[97] si et seulement si A-50S+27N+M=97q mais après je ne sais plus quoi faire ...

b. En déduire que K=97−r1 où r1 est le reste de la division euclidienne de 50S+27N+M par 97.

3. a. On suppose que lors d'une saisie d'un code INSEE, une erreur est commise sur le premier chiffre de l'identifiant. Montrer que cette erreur est détectée par la clé.


b. Montrer qu'une erreur sur un, et un seul, des chiffres du nombre N est détectée par la clé.


c. Montrer que si l'on intervertit les deux premiers chiffres du nombre N, l'erreur est détectée par la clé.

*** message déplacé ***

Rebonjour j'ai finalement réussi les questions 1 et 2 mais je ne sais pas du tout quoi faire pour la question 3a ...

*** message déplacé ***le multipost n'est pas autorisé***

Bonjour j'ai le même dm à rendre pour la rentrée et je ne comprends pas ce que je dois faire pour la question 3.a donc si quelqu'un pourrait m'éclairer ce serait sympas ... Je remets l'énoncé de la question au cas où
3)a)Lors d'une saisie du code INSEE, une erreur est commise sur le premier chiffre de l'identifiant.
Montrer que cette erreur est détectée par la clé.

Bonjour, je ne sais pas si j'ai juste mais pour la 3)a) voici ce que j'ai trouvé, j'espère que ça pourra t'aider :

On considère le numéro INSEE correct : A = S*10^12 + N*10^6 + M.
On sait que A ≡ 50S + 27N + M[97].
On suppose qu'une erreur soit commise sur le premier chiffre de l'identifiant. Le numéro INSEE erroné est : A' = S'*10^12 +N*10^6+ M
On a donc également A' ≡ 50S' + 27N + M[97]
Or : A - A' = S*10^12 - S'*10^12
Donc A - A' ≡ 50S - 50S'[97]
                           ≡ 50(S-S')[97]
Or, S - S' ≠ 0 car S ≠ S'
L'erreur peux porter sur l'ensemble de chiffre {1 ; 2} car le premier chiffre du code INSEE est celui du sexe et est soit 1, soit 2. La différence entre les deux chiffres peut donc être égale soit à -1, soit à 1.
S - S' (appartient) {-1 ; 1}
Ainsi : A-A' (non congru) 0[97]
A et A' n'ont pas le même reste de la division euclidienne par 97. Ainsi la clé de contrôle détecte l'erreur.

Merci ! Et entre temps finalement j'avais commencé quelque chose et j'ai fait à peu près pareil que toi sauf que j'ai utilisé l'écriture en base 10 mais c'est déjà rassurant qu'on ait suivi a peu près le même raisonnement

Tant mieux alors si ça ressemble, en espérant qu'on ai juste !