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DM Math spé
Posté par Murielwilla
Bonjour je bloque a la question 4. et je ne suis pas sur de la 3 (quand je remplace par la hypothèse de récurrence). j'espère que vous pourrez aider merci.
Pour tout entier naturel p > 1, on pose Np = 1 . . . 1 où le chiffre 1 apparaît p fois.
Ainsi, N1 = 1, N2 = 11, N3 = 111, N4 = 1 111, etc...
1. (a) Ecrire N2, N3 et Np (p entier naturel sup´erieur ou égal à 1) comme somme de puissances de 10.
(b) Montrer que pour tout entier naturel p > 1, Np =(10p − 1)/9
Peut-on être certain que 10p − 1 est divisible par 9 ?
2. (a) Vérifier que, pour tous réels a et b, a3 − b3=(a − b)(a2+ ab + b2)
(b) En déduire que, pour tout entier p > 1, N3p est divisible par Np.
3. (a) Montrer par récurrence que, pour tout entier p > 1, 102p + 10p + 1 est divisible par 3.
(b) En déduire que, pour tout entier p > 1, N3p est divisible par 3Np.
4. Démontrer qu'il existe une infinité de nombres entiers naturels dont l'écriture décimale est constituée exactement de p chiffres 1 et qui sont divisibles par p.
EXERCICE 2
1a) N2=11=101+100
N3=111=102+101+ 100
Np=1…1=10(p-1)+10(p-2)+⋯+10(p-p)
1b) On sait que 10p-1/9=10(p-1)+10(p-2)+⋯+10(p-p)
Donc que 10p-1=9(10^(p-1)+10^(p-2)+⋯+10^(p-p))
Donc 10p -1 est divisible par 9
2)a) (a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2 b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3
2)b) N3p=(103p-1)/9⟺((10p )3-13)/9⟺(102p+10p+1)(10p-1)/9 ⟺Np (102p+10p+1)= N3p/Np=102p+10p+1
3a) HR =102p+10p+1=3k
OBJ = 10(2p+2)+10(p+1)+1=3k
⇒102p×10²+10P×10+10-9
=10(10*102p+10p+1)-9
=10×30k-9
=3(100k-3)
b) On sait que N3p est divisile par Np et que le résultat est divisible par 3 soit N3p/Np =3(100k-3)
N3p/(3Np )=100k-3
4)
je vois que c'est Np/p mais seulement ça marche que pour certain n ex : 111/3 = 37
donc c'est Np-1/9/p <=>Np-1/9p
je voit aussi que on peut peut être tiré quellque choses de 3k/3k, on pourrez peut etre faire une réccurennce mais je voit pas trop l'hypothese de récurrence ni par ou commencer.
Bonjour je bloque a la question 4. et je ne suis pas sur de la 3 (quand je remplace par la hypothèse de récurrence). j'espère que vous pourrez aider merci.
salut
pour montrer la divisibilité par 9 on peut utiliser le fait que 10 est congru à 1 modulo 9
donc 10p congru à 1 modulo 9 et donc 10p est congru à 0 modulo 9
salut
Citation :
3a) HR =102p+10p+1=3k
OBJ = 10(2p+2)+10(p+1)+1=3k
⇒102p×10²+10P×10+10-9
=10(10*102p+10p+1)-9 A
=10×30k-9 B
=3(100k-3)
le passage de A à B est faux ...
3a) HR =102p+10p+1=3k
OBJ = 10(2p+2)+10(p+1)+1=3k
⇒102p×10²+10P×10+10-9
=10(10*102p+10p+1)-9 A
=10×30k-9 B
=3(100k-3)
<=> il existe un entier q tel que
...