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Niveau terminale
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Dm maths expertes

Posté par
Ines52
14-12-20 à 18:34

Bonjour, j'ai un dm en maths expertes à faire mais je bloque complètement sur le deuxième exercice. Alors voila le sujet :
On dit que p est un nombre premier s'il admet exactement deux diviseurs positifs distincts 1 et p.

1) soient a et b deux entiers. Montrer que si p divise ab alors p divise a ou p divise b ( on traiteras 2 cas : 1er cas : p divise a et 2eme cas p ne divise pas a ).

2) Soit n un entier naturel déterminer les diviseurs positifs de p^n.

3) Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p-1 j et p sont premiers entre eux.

4) soit phi la fonction indicatrice d'euler: p est définie sur N* par : pour tout entier naturel n non nul phi(n) est égal au nombre de nombre premier avec n compris entre 1 et n.

a) calculer phi(12)
b) calcule phi(p) et phi(p^2) avec p premier.
c) calculer phi(p^n) avec p un nombre premiers et n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Voila c'est le sujet. Pour la question 1 je sais qu'il faut utiliser le PGCD avec D(p)={1,p} mais je n'arrive pas à aboutir.
Pour la deuxième question je n'ai aucune idée de comment procéder
Pour la troisième question je penses qu'il faut utiliser le théorème de Gauss peut-être.
Et enfin la 4)b et 4)c je bloques également.

Merci d'avoir pris le temps de lire

Posté par
carpediem
re : Dm maths expertes 14-12-20 à 18:37

salut

1/ comment sais-tu qu'il faut utiliser le pgcd ?

et on te donne une indication ...

2/ revoir les règles sur les exposants ...

Posté par
Ines52
re : Dm maths expertes 14-12-20 à 18:41

Pour la question 1 notre prof nous a dit d'utiliser cette méthode pour le 2eme cas avec p qui ne divise pas a

Posté par
carpediem
re : Dm maths expertes 14-12-20 à 19:11

ok ... et alors ?

Posté par
Ines52
re : Dm maths expertes 14-12-20 à 20:26

Finalement pour la 1 j'ai utilisé les définitions de divisibilité donc pour le 2eme cas comme p ne divise pas a je peux en déduire qu'il divise peut-être b ainsi appliquer les définitions

Pour la 2 du coup j'ai trouvé ça : p^n et divisible par 1 et par lui même qu'il est également divisible par p avec toutes les puissances de p inférieur a n donc : p^n= p^n-k * p^k

Alors il est divisible par p^n-k

Posté par
carpediem
re : Dm maths expertes 14-12-20 à 21:55

si p ne divise pas a alors pgcd (p, a) = ...? donc ... ?

2/ ok

Posté par
Ines52
re : Dm maths expertes 14-12-20 à 22:05

Le pgcd vaut alors 1

Posté par
carpediem
re : Dm maths expertes 15-12-20 à 08:08

et alors ? quelle égalité peut-on écrire ?



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