Bonjour,
Tu poses z=iy avec y réel. Puis tu sépares partie réelle et partie imaginaire.

bonjour à vous deux :

une autre façon de faire : factoriser
en écrivant
P(z) =  (8z^3  + 50 z)    -  (2-i) (12 z² + 75)  ....

Merci pour vos réponses !  Je pense que je vais plus factoriser mais après l'avoir fait faut-il que j'utilise la règle du produit nul? Je ne vois pas vraiment comment continuer ...

factorise : qu'est ce que tu trouves ?

les racines sont solutions de P(z)=0 ...

Cela fait : 8z^3 + 50z -24iz^2 + 150i

Ou plutôt-150i pardon

là, tu développes, tu ne factorises pas  !
je t'avais donné la première étape..
P(z) =  (8z^3  + 50 z)    -  (2-i) (12 z² + 75)
et   ...    12z²  +   75   =   ??   (8z²  +  25)

**   oups
12z²  +   75   =   ??   (8z²  +  50)

...=2z(8z^2+25) ?

Pardon ...= iz(8z^2+25)

non,
tu cherches trop compliqué..
12 z²   +  75  =   3/2 ( 8z²  +  50) ...

donc
P(z) =  (8z^3  + 50 z)    -  (2-i) (12 z² + 75)
P(z)  =   z  (8z²  + 50)    - 3/2 (2-i)  ( 8z² + 50)
tu continues ?

Je suis vraiment désolé je ne vois vraiment pas comment continuer ..

??  
tu vois bien qu'il y a un facteur commun (je l'ai mis en bleu)...
(il faut vraiment que tu reprennes la factorisation vue en 4ème...).

P(z) =   (8z²  + 50)  ( ??     -     ?? (??)   )

P(z) = (8z^2+50)(z-3/2(2-i))

oui.

P(z)=0   ==>     équation produit nul.
continue !

Je trouve donc 3 solutions pour z :

z1= 5/2i
z2= - 5/2i


z3 = 3-3/21

Il est demandé les deux racines imaginaires pures, il faut donc annoncer
z1 et z2 seulement

*erreur de frappe *
z3= 3 - 3/2i

Bonjour,

en attendant le retour de Leile que je salue,

tes racines sont justes; il y a effectivement une erreur dans l'énoncé, on a 3 racines imaginaires et pas 2

Bonjour , merci pour votre réponse

La dernière question de l'exercice est : en déduire toutes les racines complexes de P. Je pense que pour la première question il ne fallait donc pas utiliser cette méthode.. et donc il fallait seulement pour la première question en trouver  2 ..

En effet la deuxième question pourrait être utile : déterminer les complexes a et b tels que pour tout z :
P(z) = (4z^2+ 25)(az+b)

.. pour déterminer la troisième racine

ici il y avait des factorisations possibles mais en général on procède comme suggéré par gerreba

pour répondre à ton post de 14h48

il faut développer P(z) et procéder par identification pour trouver a et b

Il faut donc que je remplace z par ib :

8(ib)^3 -12(2-i)(ib)^2 +50ib -75(2-i) =...

Or i^3=1 et i^2=-1

Comment faut il que je simplifie après ?

As-tu fait le calcul que te suggérait Pirho à 14h56 ?