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DM nombres complexes

Posté par
Ausha
23-01-20 à 22:50

Bonjour/bonsoir, je bloque sur un petit exercice sur les nombres complexes actuellement :

Pour chaque questions, indiquer si les affirmations sont est vraies ou fausses en justifiant.
1) Affirmation 1 : L'équation (1+i\sqrt{3})^{2017} est un imaginaire pur
2) Affirmation 2 : Soit \varepsilon l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant \left|z+1 \right| = \left|z-1 \right|.
\varepsilon est le cercle de centre O et de rayon 1.

Voilà je suis bloqué, merci

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM nombres complexes 23-01-20 à 23:00

Bonsoir,
1) essaye d'exprimer 1 + i 3 sous forme trigonométrique

2) interprète |z+1| et |z-1| sous forme géométrique (distance de z à un point particulier).

Posté par
Ausha
re : DM nombres complexes 23-01-20 à 23:06

Pour la 1) je dois calculer le module et ignorer la puissance 2017 pour l'instant ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM nombres complexes 23-01-20 à 23:08

oui mettre 1 + i sous la forme r eit puis élever à la puissance 2017 après et regarder ce que ça donne sur l'argument.

Posté par
Ausha
re : DM nombres complexes 23-01-20 à 23:11

Donc j'ai trouvé sous forme trigo :

2(cos(π/3)+isin(π/3))

Posté par
Ausha
re : DM nombres complexes 23-01-20 à 23:13

Désolé mais qu'est-ce que la forme forme r eit déjà ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM nombres complexes 23-01-20 à 23:36

la formule exponentielle des nombres complexes.
Très pratique la formule d' Euler : e it = cos t + i sin t

et donc (cos t + i sin t)n = e int = cos nt + i sin nt

Posté par
Ausha
re : DM nombres complexes 24-01-20 à 00:15

Je me retrouve alors avec :
2(cos(π/3)+isin(π/3))2017 = 2eix(π/3)x2017
Mais je suis toujours bloqué, comment puis-je savoir que c'est un imaginaire pur ou pas ?

Posté par
Yzz
re : DM nombres complexes 24-01-20 à 06:57

Salut,

A toi de déterminer le nombre de "tours complets" qu'il y a dans  (π/3)x2017 , c'est à dire de multiples de 2π (donc de 6π/3)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM nombres complexes 24-01-20 à 09:07

Bonjour à tous,
@Ausha,
Avant la notation exponentielle, as-tu vu une formule qui s'appelle la formule de Moivre ?



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