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Niveau terminale
DM nombres parfaits
Posté par antetokounmpo
bonjour,
j'ai un dm pour la rentrée, j'ai quasiment tout fini sauf 1 question, c'est assez frustrant.
c'est la première question de la partie B, que j'ai réussi à finir en prenant la proposition à démontrer dans la question 1 comme vraie.
voici le sujet:
on rappelle qu'un nombre parfait est un entier naturel n dont la somme des diviseurs positifs est égale à 2n. dans tout ce qui suit, n désigne un entier naturel.
Euclide (3ieme siècle avant notre ère) donne le théorème suivant pour trouver des nombres parfaits:
"si un nombre a s'écrit 2^n * (2^n+1 -1), et si le facteur 2^n+1 - 1 est premier, alors a est un nombre parfait".
1. montrer que si 2^n+1 -1 est premier, alors n ne peut pas être un nombre impair distinct de 1.
merci pour toute forme d'aide qui pourrait me mettre sur la voie.
je ne comprend pas d'où vient le nombre 2^{2p+2}-1 et surtout qu'en faire.
merci si vous continuez à m'aider.
je vois. donc: n est impair et je dois prouver que 2^2p+2 -1 n'est pas premier c'est ça ?
edit: j'essaye depuis 20min mais là encore je bloque; comment je peux prouver que 2^2p+2 -1 est premier ?
Oui, carpediem a raison, c'est par contraposée,
@antetokounmpo, justement il n'est pas premier. Ne vois-tu pas une factorisation possible.
Bonjour,
faudrait peut être déja l'écrire correctement :
2^(2p+2) - 1 = 2^(2(p+1)) - 1 = ...
ou des accolades jouant le même rôle en LaTeX :
ah oui, je pense que 2^2p+2 -1=(2^(2p+1) -1)(2^(2p+1) +1) c'est ca ?
puisque p est non nul, 2^(2p+1) -1≥7 et 2^(2p+1) +1≥9.
puisqu'aucun des facteurs n'est égal à 1 alors 2^2p+2 -1 est composé.
mon raisonnement est bon ?
non ce calcul est faux
erreur sur les règles de calculs avec des exposants
sinon le raisonnement sera juste en corrigeant les calculs
oula erreur de débutant j'ai bien fait de faire une pause ça saute aux yeux là...
donc 2^(2p+2)-1=(2^(p+1)-1)(2^(p+1)+1)
p non nul => (2^(p+1)-1)≥3 et 2^(p+1)+1≥5
aucun des facteurs n'est égal à 1, 2^(2p+2)-1 est donc composé.
ainsi, si n est un nombre impair ≠1 alors 2^(n+1)-1 n'est pas premier.
donc par contraposée, si 2^(n+1)-1 est premier, alors n n'est pas un nombre impair ≠1.
mon raisonnement est bien correct ?
si p > 1 alors 2^(n + 1) - 1 n'est pas premier certes mais il faut aussi regarder ce qui se passe pour p = 1 ...
carpediem @ 06-03-2019 à 15:32
si p > 1 alors 2^(n + 1) - 1 n'est pas premier certes mais il faut aussi regarder ce qui se passe pour p = 1 ...
si p > 1 alors 2^(n + 1) - 1 n'est pas premier certes mais il faut aussi regarder ce qui se passe pour p = 1 ...
c'est pas ce que j'ai fait ? j'ai remplacé p par 1 dans les deux facteurs. et ainsi je peux affirmer que 2^(n+1)-1 est composé pour tout p≥1 appartenant à N
pardon !!
carpediem @ 06-03-2019 à 15:32
si p > 0 alors 2^(n + 1) - 1 n'est pas premier certes mais il faut aussi regarder ce qui se passe pour p = 0 ...
donc si n = 1 ...si p > 0 alors 2^(n + 1) - 1 n'est pas premier certes mais il faut aussi regarder ce qui se passe pour p = 0 ...
si n=1 ça fait 3 qui est premier.
On a donc bien la proposition: "si 2^(n+1)-1 est premier, alors n n'est pas un impair ≠1".
merci pour cette précision logique, mais qui fait perdre des points bêtement.