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DM : nombres premiers
Bonjour tout le monde,
mon prof de maths m'a donné ça comme exercice et je n'arrive pas au d) voici le sujet :
On dit d'un nombre qu'il est premier lorsqu'il n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Autrement dit, un nombre premier n'est dans aucune table de multiplication à part la sienne et celle de 1.
On donne la formule suivante : P = n2- n + 11
d)Le nombre P est-il toujours premier quelque soit le nombre n entier positif ?
(Sachant qu'avant on a dû faire cette formule pour n=0,1 et 2 et que les nombres sont toujours premiers).
Merci de votre aide. 
POur n = 11 cela fait :
P = 112 - 11 + 11
P = 22 - 11 + 11
P = 11 + 11
P = 22
Et donc 22 n'est dans aucune table de multiplication à part la sienne et celle de 1. Donc je suppose que ça marche tout le temps non ? 
Depuis quand 11² serait-il égal à 22 ?????????????????
---------
P(n+1) = (n+1)² - (n+1) + 11
P(n+1) = n² + 2n + 1 - n - 1 + 11
P(n+1) = n² + n + 11
P(n+1) = n² - n + 11 + 2n
P(n+1) = P(n) + 2n
P(1) = P(0) + 2*0
P(2) = P(1) + 2*1 = P(0) + 2*0 + 2*1
P(3) = P(2) + 2*2 = P(0) + 2*0 + 2*1 + 2*2
...
P(n) = P(0) + 2*(0 + 1 + 2 + ... + (n-1))
P(n) = P(0) + 2*n.(n-1)/2
P(n) = 11 + n(n-1) (pour n >= 1)
Donc si n est multiple de 11 ou si (n-1) est multiple de 11 ---> P n'est pas premier.
P n'est pas premier si :
n = 11.k ou si n = 11.k + 1 (avec k dans N*)
-----
Sauf distraction.
Ah oui mince
Ce qui fait fait donc
P = 112-11+11
P = 121 - 11 + 11
P = 110 + 11
P = 121
Mais je ne vois pas par quel nombre 121 est divisible 
... tu ne dois pas avoir les yeux bien ouverts ce matin car
tu as écrit toi-même
P = 112-11+11
P = 121 - 11 + 11....
si 11² = 121 par quoi le nombre 121 peut-il bien être divisible
Si 11² = 121 par quoi le nombre 121 peut-il bien être divisible ?
Par 1 , par 11 et par 121.
Depuis quand 11² serait-il égal à 22 ?????????????????
---------
P(n+1) = (n+1)² - (n+1) + 11
P(n+1) = n² + 2n + 1 - n - 1 + 11
P(n+1) = n² + n + 11
P(n+1) = n² - n + 11 + 2n
P(n+1) = P(n) + 2n
P(1) = P(0) + 2*0
P(2) = P(1) + 2*1 = P(0) + 2*0 + 2*1
P(3) = P(2) + 2*2 = P(0) + 2*0 + 2*1 + 2*2
...
P(n) = P(0) + 2*(0 + 1 + 2 + ... + (n-1))
P(n) = P(0) + 2*n.(n-1)/2
P(n) = 11 + n(n-1) (pour n >= 1)
Donc si n est multiple de 11 ou si (n-1) est multiple de 11 ---> P n'est pas premier.
P n'est pas premier si :
n = 11.k ou si n = 11.k + 1 (avec k dans N*)
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Sauf distraction.
Bonjour
Pouvez-vous m'expliquer en quoi le fait que P(n)=11+n(n-1) prouve que P(11) est divisible.
Merci.
Bonjour,
il n'a jamais été écrit ça !
il a été écrit que P(n) = 11 + n(n-1) est divisible par 11 si et seulement si n(n-1) est divisible par 11 ...
(parce qe le premier terme de cette somme 11 + n(n-1) est trivialement divisible par 11, donc pour que la somme le soit etc)
ceci dit le calcul avec les P(i) successifs est du noyage de poisson
P(n) = n2- n + 11 = n(n-1) + 11 directement !!
Très bien. J'ai déjà été très bien éclairé.
Maintenant, comme démontrer qu'il existe n tel que n(n-1) soit divisible par 11 ?
quand donc un produit de deux nombres est il divisible par un nombre premier 11 ?
(en plus c'est dit dans la suite)
????
quand le produit a multiplié par b est il divisible par le nombre premier11 ?
(évidence par les définitions de "nombre premier" et de "décomposition en nombres premiers)
pfff
Donc si n est multiple de 11 ou si (n-1) est multiple de 11
le produit ab est divisible par 11 si 11 fait partie de la décomposition en nombres premiers de a ou bien de b, c'est à dire si a ou bien b (ou même les deux, en général) est un multiple de 11 pardi !!
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