Bonjour à tous,

j'ai un DM de Proba à rendre et je galère sur cet exercice, je suis bloqué dès le début.
SVP si quelqu'un pourrait m'aider :(

Exercice :

Soit X une variable aléatoire réelle intégrable, et m une médiane de X. Pour y ∈ R, on pose φ_y : R → R+, x → φ_y(x) = |x − y|.

1. Tracer le graphe de la fonction φ_y − φ_m

2. Montrer que, pour y ≥ m, φ_y − φ_m ≥ (y − m)(indicatrice]−∞,m] − indicatrice]m,+∞[),
  et pour y ≤ m, φ_y − φ_m ≥ (m − y)(−indicatrice]−∞,m[ + indicatrice[m,+∞[).


3. En déduire que : y → E[|X − y|]  admet un minimum global en m.


4. En déduire que si m1 et m2 sont deux médianes de X alors
                                                E[|X − m_1|] = E[|X − m_2|]