Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour 1 exercice, j'ai compris l'énoncer mais j'ai beau chercher, je ne trouve toujours pas la solution.
Enoncer: "La somme des longueurs des 3 côtés d'un triangle rectangle est 18. La somme des carrés des longueurs est 128. Quelle est l'aire du triangle ?"
Merci beaucoup d'avance si vous pouvez m'aidez, et merci de prendre de votre temps pour me répondre.
Cordialement.
Bonjour.
Fais un dessin et appelle x, y , z les 3 cotés du triangle rectangle.
Pose tes équations. Qu'est-ce que ça donne ?
D'accord, on ne peut pas faire plus que:
x+y+z=18 et x²+y²+z²=128 dans l'équation ??
Mais ducoup je ne vois pas comment faire après ça🤔
Tu as 3 inconnues et 2 équations .
Il te manque une équation pour résoudre ton problème.
Et si tu essayais le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle.
Ah d'accord, avec le théorème de Pythagore la 3ème équation est x²+z²=y²
donc x²+z²=128/2=64 et y²=64 aussi,
Alors y=8 et après je bug un peu pour x et z car il peut y avoir plusieurs solutions non ?
Déjà es-ce que je suis bien parti ?
y=8 c'est ok
Tu as maintenant :
x+y+z =18 x+z=10 car y=8
et x2+z2=64
2 équations , 2 inconnues x et z. Tu dois y arriver.
Il y a une seule solution ?
Car: 1²+9²=82
2²+8²=68
3²+7²=58
4²+6²=52
5²+5²=50
Et il n'y a pas d'autre solution donc je ne sais vraiment pas comment faire, car si on change un nbr là la somme des chiffres ne fera pas 10. Donc je ne vois pas la solution malheureusement...
Les solutions que tu proposes ne respectent pas la relation x2+z2=64.
A partir de x+z=10, tu peux extraire x=10-z et le remplacer dans x2+z2=64.
Tu auras alors une équation du second degré en z à résoudre.
Tu peux remarquer que x et z « jouent » le même rôle dans le système d'équations :
x+z=10
x2+z2=64
D'accord merci beaucoup mais je n'ai pas encore vu les équations du second degré, pouvez vous m'expliquez un peu comment cela marche s'il vous plaît.
Et juste vu que c'est x=10-z alors x²=64-z² ?
Je t'ai dit de remplacer x par 10-z
Donc (10-z)2=64-z2
Arrange moi ça. Regroupe les termes de manière à regrouper les z2 ensemble, les z ensemble.
Que trouves-tu ?
Donc (10-z)²=64-z²
= 100-20z+z²=64-z² (a-b)²=a²-2ab+b²
=100-20z+z²-64+z²=0
=36-20z+2z²=0
=2z²-20z+36=0
Es-ce que j'ai bien arranger ?
Et après on fait un équation du second degré.
C'est ça ?
Okey donc si on divise par 2 on a:
z²-10z+18=0
Une fois qu'on a ça on fait l'équation du second degré ?
Oui, c'est la bonne équation.
Pour trouver z, on va utiliser l'astuce suivante:
On va dire que z2-10z est le début du développement de (z-5)2.
En effet (z-5)2=z2-10z+25
Donc on va remplacer z2-10z par (z-5)2 - 25 dans ton équation.
Cela donne (z-5)2 - 25 + 18 = 0
Soit (z-5)2 - 7 = 0
Que l'on peut écrire (z-5)2 - (7)2 = 0
On a maintenant la différence de deux carrés à gauche de =0
Tu vas utiliser l'identité remarquable a2-b2 pour factoriser et résoudre l'équation.
Que trouves-tu comme solutions pour z ?
1=a, -10=b, 18=c
Delta=b²-4ac Delta supérieur à 0 donc 2 solutions
(-10)²-4*1*18 z1=-b+ Racine carré de delta/2a
100-72 =10+racine carrée de 28/2*1
=28 = environ 7,65
z2=-b-Racine carré de delta/2a
=10-racine carré de 28/2*1
= environ 2,35
Donc une fois qu'on a ces 2 résultats:
es-ce que z=7,65 et x=2,35 car 7,65+2,35+8=18 ?
es-ce que c'est ça ?
Tu avais écrit que tu ne savais résoudre les équations du second degré. En fait tu sais !
Mais tu dois laisser z1 et z2 sous forme littérale en simplifiant au maximum par 2 et laisser 7.
Ensuite tu calcules x.
Et tu vérifieras bien que tes équations d'origine sont ok.
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