Bonjour.
Fais un dessin et appelle x, y , z les 3 cotés du triangle rectangle.
Pose tes équations. Qu'est-ce que ça donne ?

D'accord, on ne peut pas faire plus que:
x+y+z=18 et x²+y²+z²=128 dans l'équation ??
Mais ducoup je ne vois pas comment faire après ça🤔

Tu as 3 inconnues et 2 équations .
Il te manque une équation pour résoudre ton problème.
Et si tu essayais le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle.

Ah d'accord, avec le théorème de Pythagore la 3ème équation est x²+z²=y²
donc x²+z²=128/2=64 et y²=64 aussi,
Alors y=8 et après je bug un peu pour x et z car il peut y avoir plusieurs solutions non ?

Déjà es-ce que je suis bien parti ?

y=8 c'est ok
Tu as maintenant :
x+y+z =18   x+z=10 car y=8
et x²+z²=64
2 équations , 2 inconnues x et z. Tu dois y arriver.

Il y a une seule solution ?
Car: 1²+9²=82
2²+8²=68
3²+7²=58
4²+6²=52
5²+5²=50
Et il n'y a pas d'autre solution donc je ne sais vraiment pas comment faire, car si on change un nbr là la somme des chiffres ne fera pas 10. Donc je ne vois pas la solution malheureusement...

Les solutions que tu proposes ne respectent pas la relation x²+z²=64.

A partir de x+z=10, tu peux extraire x=10-z et le remplacer dans x²+z²=64.
Tu auras alors une équation du second degré en z à résoudre.
Tu peux remarquer que x et z « jouent » le même rôle dans le système d'équations :
x+z=10
x²+z²=64

D'accord merci beaucoup mais je n'ai pas encore vu les équations du second degré, pouvez vous m'expliquez un peu comment cela marche s'il vous plaît.

Et juste vu que c'est x=10-z alors x²=64-z² ?

Je t'ai dit de remplacer x par 10-z
Donc (10-z)²=64-z²
Arrange moi ça. Regroupe les termes de manière à regrouper les z² ensemble, les z ensemble.
Que trouves-tu ?

Donc (10-z)²=64-z²
= 100-20z+z²=64-z²   (a-b)²=a²-2ab+b²
=100-20z+z²-64+z²=0
=36-20z+2z²=0
=2z²-20z+36=0

Es-ce que j'ai bien arranger ?
Et après on fait un équation du second degré.
C'est ça ?

Tu peux simplifier par 2.
Ensuite on s'intéressera à la résolution.
Vas y

Okey donc si on divise par 2 on a:
z²-10z+18=0
Une fois qu'on a ça on fait l'équation du second degré ?

Oui, c'est la bonne équation.

Pour trouver z, on va utiliser l'astuce suivante:
On va dire que z²-10z est le début du développement de (z-5)².
En effet (z-5)²=z²-10z+25
Donc on va remplacer z²-10z par (z-5)² - 25 dans ton équation.
Cela donne (z-5)² - 25 + 18 = 0
Soit (z-5)² - 7 = 0
Que l'on peut écrire (z-5)² - (7)² = 0
On a maintenant la différence de deux carrés à gauche de =0
Tu vas utiliser l'identité remarquable a²-b² pour factoriser et résoudre l'équation.
Que trouves-tu comme solutions pour z ?

1=a, -10=b, 18=c
Delta=b²-4ac                            Delta supérieur à 0 donc 2 solutions
(-10)²-4*1*18                            z1=-b+ Racine carré de delta/2a
100-72                                               =10+racine carrée de 28/2*1
=28                                                       = environ 7,65

                                                          z2=-b-Racine carré de delta/2a
                                                                =10-racine carré de 28/2*1
                                                                = environ 2,35

Donc une fois qu'on a ces 2 résultats:
es-ce que z=7,65 et x=2,35 car 7,65+2,35+8=18 ?
es-ce que c'est ça ?

Ah je n'avais pas vu votre réponse je n'avais pas actualiser, je vais voir si j'y arrive

Tu avais écrit que tu ne savais résoudre les équations du second degré. En fait tu sais !
Mais tu dois laisser z1 et z2 sous forme littérale en simplifiant au maximum par 2 et laisser 7.
Ensuite tu calcules x.
Et tu vérifieras bien que tes équations d'origine sont ok.

Merciii beaucoup, tu m'as énormément aidé !!!

Je t'en prie.
N'oublie pas que ce qu'on demande dans l'énoncé d'origine c'est la surface du triangle rectangle c'est à dire (x*z)/2.
Si ça t'intéresse je pourrais te donner une astuce pour aller plus vite sans calculer la valeur de x et z mais directement à partir des 2 équations :
x²+z²=64
x+z=10