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Niveau terminale
DM Spé Maths Nombres Premiers Euler
Posté par SuperBibi
Bonjour,
Je planche actuellement sur un petit devoir maison de spécialité maths que j'ai à rendre pour la semaine prochaine. Je bloque cependant sur quelques questions. Toute aide serait la bienvenue 
Soit une fonction f définie sur N par f(n)=n²+n+C, avec C entier naturel.
On note N(C) le nombre de nombres premiers obtenus consécutivement par cette fonction à partir de n=0.
1) Construire une feuille de calcul sur tableur qui donne les résultats de la fonction pour n allant de 0 à 50. La fonction f devra prendre en compte automatiquement le changement de valeur de C. Pour les valeurs de C de 1 à 20, déterminer N(C).
==> ça ça va, j'ai réussi
2) Montrer que N(C) >= 1 si et seulement si C est premier.
==> j'ai pensé à raisonner par l'absurde mais je ne vois vraiment pas que faire 
3)a. Calculer f(C) ==> f(C)=C²+2C=C(C+2)
b. En déduire que pour tout entier naturel C>=1, N(C)=<C-1 ==> ?!?!?
4) Soit k un entier naturel, donner une condition nécessaire et suffisante pour que k soit composé. ==> k divisible par au moins un nombre premier p tel que 2=<p=<racine de k ?
5) Soit une fonction polynôme F non constante et à coefficients entiers naturels telle que F(x)= An*x^n+An-1*x^n-1+An-2*x^n-2+........+A2*x^2+A1*x+A0 avec 0=<i=<n et Ai entier naturel.
a. Si A0=0 ou A0=1, montrer que F(0) n'est pas premier ==> F(0)=A0, or quand A0=0 ou 1, A0 n'est pas premier, donc F(0) n'est pas premier.
b. Si A0>1, montrer que F(A0) n'est pas premier ==>Si A0 est pair, A0^i est pair, A0^i*Ai est pair, donc F(A0) est pair, donc F(A0) n'est pas premier. Par contre, pour A0 impaire, je sais pas trop comment le faire... Par récurrence peut-être ?
c. En déduire qu'une fonction polynôme F quelconque ne peut pas produire uniquement des nombres premiers. ==> ?!?!?
En soi, une fois que la technique est trouvée, cela ne doit pas être très difficile à l'appliquer, mais encore faut-il avoir une idée :/
Merci d'avance pour votre aide précieuse, je bloque un peu là
SuperBibi
Bonjour,
Pour 2), c'est très facile :
Si C est premier, alors f(0) est premier; donc N(C) 
1.
Si C n'est pas premier, alors f(0) n'est pas premier ; donc N(C) = 0 .
Merci pour votre réponse (très) rapide.
Citation :
Si C n'est pas premier, alors f(0) n'est pas premier ; donc N(C) = 0
Ok, mais pour f(n) avec 0<n=<50 ça donne la même chose ?
Si C n'est pas premier, alors f(0) n'est pas premier ; donc N(C) = 0
Pour la 3)a., c'est écrit exactement comme ça :/
"le nombre de nombres premiers obtenus consécutivement par cette fonction à partir de n=0."
Je traduis pour quelques situations :
Si pour n = 0 et pour n =1 le résultat est premier, et que pour n=2 le résultat n'est pas premier
alors il y a 2 nombres premiers obtenus consécutivement à partir de n=0.
Si pour n = 0 le résultat est premier, et que pour n=1 le résultat n'est pas premier
alors il y a 1 nombre premier obtenu consécutivement à partir de n=0.
Si pour n = 0 le résultat n'est pas premier
alors il y a 0 nombre premier obtenu consécutivement à partir de n=0.
salut
f(c) n'est pas premier (puisque f(c) = c(c + 2)
de f(0) à f(c) il y a c + 1 entiers
donc N(c) =< c
Bonjour,
L'énoncé demande C-1 . C'est pour ça que j'ai regardé f(C-1) qui est facilement non premier.
Tu peux prendre le relais. Je ne vais plus être disponible.
Je ne vois pas le lien entre la question 5) et le début 
Encore merci pour votre aide.
@Sylvieg, je comprends maintenant, je m'étais embêté à déterminer le nombre de nombres premiers consécutifs dans l'intervalle entre 0 et 50, peu importe le début et la fin (pas forcément à partir de 0) 
@carpediem, je ne saisis pas le rapport entre
Citation :
f(c) n'est pas premier (puisque f(c) = c(c + 2) ; de f(0) à f(c) il y a c + 1 entiers
et f(c) n'est pas premier (puisque f(c) = c(c + 2) ; de f(0) à f(c) il y a c + 1 entiers
Citation :
donc N(c) =< c
... De plus, il s'agit de démontrer que N(C)=<C-1. Pouvez-vous m'expliquer ? :/
donc N(c) =< c
N.B : J'ai un rendez-vous, je ne pourrai vous répondre que demain après cela
ha ben si f(c - 1) n'est pas premier alors on en déduit que N(c) =< c - 1
une autre remarque : f(1) (tout comme f(impair)) n'est jamais premier dès que c est pair ...
Bonjour tout le monde, me revoilà !
Bon du coup ça va, j'ai compris pour les questions 2) et 3)b. (même s'il doit y avoir une erreur d'énoncé dans cette dernière en effet). Idem pour la 5)a. et b. Du coup pour la 5)c., je dois dire que comme toute fonction polynôme s'écrit sous cette forme, alors les propriétés ci-dessus seront toujours vérifiées et la fonction ne produire pas uniquement des nombres premiers ? Et pour la 4) je peux mettre "k est composé si k est divisible par au moins un nombre premier p tel que 2=<p=<racine de k ?", du fait qu'il n'y a aucun rapport avec les questions précédentes et suivantes ?
Merci 
4/ oui tu peux ...
mais la définition convient k k n'est pas premier s'il possède un diviseur autre que un et lui-même ...
D'accord super !
Je vais pouvoir me mettre à recopier maintenant.
Encore merci pour votre aide et à bientôt peut-être