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Niveau terminale
DM Spé TS DIVISIBILITE 2
Posté par Murielwilla
Bonjour j'ai quelque difficulté sur mon DM de spé math voici l'énonce.
Les propriétés suivantes sont-elles vraies ?
Conjecturer à l'aide de la calculatrice puis justifier.
Dans la suite n désigne un entier.
1. Si n est pair alors n² + 3 est divisible par 4.
2. Si n est impair alors n² + 3 est divisible par 4.
3. Si n est divisible par 3 alors n² + n l'est aussi.
4. Si n² + n est divisible par 3 alors n l'est aussi.
5. Si n est divisible par 3 alors n² + 3n + 9 est divisible par 9.
6. Question cactus Si n² + 3n + 9 est divisible par 9 alors n est divisible par 3.
Ce que j'ai trouvé :
1) n est pair soit n = 2k donc on remplace n²+3 par n=2k
(2k)²+3 = 4k²+3 = 4(4k²+1)-1
Donc si 4 divise n²+3 4 divise -1 ce qui est impossible car le resultat ne serais pas un entier.
La propriété est fausse.
2) n est impair soit n=2k+1 donc on remplace n²+3 par n= 2k+1
(2k+1)²+3 = 4k²+4k+4 = 4(k²+k+1)
donc 4 divise n²+3
la propriété est vraie.
3) je vois juste que 3|n donc il divise forcement n²+n
mais je sais pas comment le démontrer
4) la propriété est fausse car d'après la 3) mais je sais pas non plus comment le démontrer
5) et 6) je sais pas du tout comment partir mais j'ai conjecturer avec ma calculette que les deux sont vraies
voila si quelqu'un peux m'éclaircir sur les questions 3) 4) 5) 6)
Merci d'avance
Bonjour,
1) (2k)²+3 = 4k²+3 suffit et c'est terminé
3) et 4) n²+n = n(n+1)
5) et 6) n²+3n+9 divisible par 9 si et seulement si n²+3n divisible par 9
et n²+3n = n(n+3)
3) Si 3|n alors 3|n(n+1) car 3 divise toutes combinaisons linaire n et n(n+1) ?
donc la propriété est vraie
4) Si 3|n(n+1) alors 3 divise pas forcement n
donc la propriété est fausse.
je suis désoler mais c'est justification me parle pas c'est flou pour moi.
6) 3|n => 9|n²+3n+9 soit n =3k
alors n²+3n+9 = 9k² +9k +9 = 9(k² + k + 1)
si 9| k²+k+1 alors 3|k²+k+1 car 3|9
esque on a le droit de faire ça ? mais le probleme je pense pas que ça marche pour la 5)
Merci d'avance .
4) Si 3|n(n+1) alors 3 divise pas forcement n
tout à fait :
soit il divise n, soit il divise n+1 (et donc pas n)
5 et 6 tu n'as pas utilisé du tout l'indice que je t'ai donné
(voir ce que je viens de dire pour la 4)
bonsoir
3 : je ne vois pas le rapport et ce que viennent faire ici les combinaisons linéaires !
traduis simplement avec une égalité le fait que 3|n
4 : ah bon ? je n'appelle pas cela un "raisonnement"... à revoir
6 : on cherche à voir si 3|n et toi tu pars de cette hypothèse, donc à revoir
pardon mathafou, je te croyais parti ... je te laisse continuer
pour le 4 le mieux serait un contre-exemple
5) Si 3|n alors 9|n2+3n+9
n2+3n+9 =n2+3n (car 9|9)
n2+3n = n(n+3)
Soit si 3|n alors 9|n(n+3)
Donc propriété vrai mais je voit pas trop pourquoi
6) Si 9|n2+3n+9 alors 3|n
Pareil que la 5) n2+3n+9=n(n+3)
Soit si 9|n(n+3) alors 3|n
Donc propriétés vraie mais je voit pas non plus pourquoi
Murielwilla @ 16-10-2018 à 10:48
5) Si 3|n alors 9|n2+3n+9
n2+3n+9 =n2+3n (car 9|9) certainement pas !
n2+3n = n(n+3)
Soit si 3|n alors 9|n(n+3)
Donc propriété vrai mais je voit pas trop pourquoi
5) Si 3|n alors 9|n2+3n+9
n2+3n+9 =n2+3n (car 9|9) certainement pas !
n2+3n = n(n+3)
Soit si 3|n alors 9|n(n+3)
Donc propriété vrai mais je voit pas trop pourquoi
écris des égalités, cela ira mieux !
si 3|n alors n=3k
donc n²+3n+9 = ... = 9k' (à compléter)
donc 9|n²+3n+9
n2+3n+9 =n2+3n ah bon ?? 9 = 0 ??
ce qui est vrai est que la divisibilité par 9 de n2+3n+9 est la même que celle de n2+3n = n(n+3)
mais ces expressis ne sont pas égales 
que 9|n2+3n+9 si et seulement si 9|n2+3n
ou en utilisant le langage des congruences :
que n2+3n+9 n2+3n [modulo 9]
(on écrit habituellement juste [9] mais ça se prononce "modulo 9"
mais as tu vu les congruences ?
si n est divisible par 3 que peux tu dire de n+3 ?
et du produit n(n+3) ?
même erreur de rédaction sur la 6 du coup
ensuite :
9|n(n+3) alors 3|n
sans les étapes intermédiaires tu n'as pas le droit de l'affirmer
ou bien 9|n
ou bien 9|n+3
ou bien 3|n et 3|n+3 (en même temps)
et là tu pourras conclure
ou bien tu peux dire que 9|n(n+3) implique que 3|n(n+3) etc
(un nombre divisible par 9 l'est à plus forte raison par 3)
matheuxmatou
elle a du mal à travailler avec les | et les modulo ... je crois qu'il vaudrait mieux qu'elle revienne à de bonnes vieilles égalités ...
pas de problème, tu as répondu pendant que je tapais
mais ne te prives pas pour intervenir au besoin
d'ailleurs ta méthode pour la 5) est plus "mécaniquement calculatoire" que la mienne qui est du pur raisonnement, chacun ses goûts, au moins il a deux méthodes différentes pour cette question.
"|" se prononce "divise" et écrire des 3|n ou comprendre ce que cela veut dire avec des mots de collège : 3 divise n, n est un multiple de 3, et du raisonnement basique de chez basique, c'est pareil.
mais il est vrai que la réflexion, n'est pas une "matière" qui est enseignée ...
je suis d'accord avec toi... c'est plus élégant avec la relation divise ou les modulo... mais quand je l'enseignais je remarquais souvent qu'ils avaient du mal avec ces raisonnements direct (dans un premier temps au moins) et je les faisais revenir à des méthodes plus calculatoires (et moins élégantes donc) s'ils pataugeaient !
mais faut aussi qu'ils apprennent ces autres méthodes.
je n'insisterais pas sur les modulos car peut être pas (encore) vu à ce stade.
je signalais juste que ça existait au cas où elle les aurait déja vus.
salut
oui le modulo n'est pas encore vu en ce début d'année : très souvent cela ne vient qu'au deuxième trimestre ...
mathafou @ 16-10-2018 à 11:30
"|" se prononce "divise" et écrire des 3|n ou comprendre ce que cela veut dire avec des mots de collège : 3 divise n, n est un multiple de 3, et du raisonnement basique de chez basique, c'est pareil.
mais il est vrai que la réflexion, n'est pas une "matière" qui est enseignée ...
certes ... pour celui qui sait de quoi il parle ...
"|" se prononce "divise" et écrire des 3|n ou comprendre ce que cela veut dire avec des mots de collège : 3 divise n, n est un multiple de 3, et du raisonnement basique de chez basique, c'est pareil.
mais il est vrai que la réflexion, n'est pas une "matière" qui est enseignée ...
mais quand je vois des élèves écrire des quotients de vecteurs ou de matrices je pense qu'il faut faire attention ...
j'ai toujours imposé 3 divise n plutôt qu'une symbolique aussi compréhensible soit-elle ... car j'ai je vois trop d'élèves utiliser des symboles sans même les comprendre ou savoir ce qu'ils veulent dire ...
de la même façon et en français j'ai toujours préféré dire :
a est multiple de b plutôt que a est divisible par b
b divise a plutôt que a est divisible par b
règle fondamentale de l'arithmétique : si d divise a et b alors d divise toute combinaison linéaire de a et b RFA
règle primaire de l'arithmétique : si a divise b et b divise c alors a divise c RPA
traduction en français (bien que ce le soit déjà
) : si a divise b alors a divise tout multiple de b ...
1/ si n est pair alors 4 divise n^2 + 3
RPA : 4 divise 4 donc 4 divise 4n
si 4 divise n^2 + 3 alors RFA => 4 divise n^2 + 3 + 4n = (n + 1)(n + 3)
si n est pair alors (n + 1)(n + 3) est le produit de deux impairs
2/ si n est impair alors 4 divise n^2 + 3
RPA : 4 divise 4 donc 4 divise 4n
n^2 + 3 = n^2 + 4n + 3 - 4n = (n + 1)(n + 3) - 4n
si n est impair alors (n + 1)(n + 3) est le produit de deux pairs
la RFA permet de conclure
3/ si 3 divise n alors 3 divise n^2 + n
trivial d'après la RPA
4/ si 3 divise n^2 + n alors 3 divise n
n = 5 permet de conclure
5/ si 3 divise n alors 9 divise n^2 + 3n + 9
3 divise n et 3 divise n donc 3 * 3 divise n * n
3 divise 3 et 3 divise n donc 3 * 3 divise 3 * n
RFA permet de conclure
6/ si 9 divise n^2 + 3n + 9 alors 3 divise n
en cours donc je me permets de ne pas intervenir ...
Merci beaucoup pour toutes vos réponses, et non je n'ai encore jamais parlée de modulo.
Donc je reprend la question 5) et 6).
5) Si n est divisible par 3 alors n²+3n+9 est divisible par 9
Si 3|n alors 9|n²+3n+9
soit n = 3k donc 9k²+9k+9 = 9(k²+k+1)
donc on peux conclure que si 3|n alors 9|n²+3n+9 est la propriété est vraie
6) Si n²+3n+9 est divisible par 9 alors n est divisible par 3
Si 9|n²+3n+9 alors 3|n
On sait que 9 est divisible par 3 donc 3|n²+3n+9
On réécrite la propriété :
Si 3|n²+3n+9 alors 3|n
Donc RFA
3 divise n²+3n +9 et n donc 3 divise toutes combinaisons linéaires de n²+3n+9 et n
Soit 3| n²+3n+9 - [(n+3)n]
= 3| n²+3n+9 - n²-3n
= 3|9
Donc la propriété est vraie
5/ est mal rédigée :
Citation :
5) Si n est divisible par 3 alors n²+3n+9 est divisible par 9
Si 3|n alors 9|n²+3n+9
soit n = 3k donc n^2 + 3n + 9 = 9k²+9k+9 = 9(k²+k+1)
donc on peux conclure que si 3|n alors 9|n²+3n+9 est la propriété est vraie
5) Si n est divisible par 3 alors n²+3n+9 est divisible par 9
Si 3|n alors 9|n²+3n+9
soit n = 3k donc n^2 + 3n + 9 = 9k²+9k+9 = 9(k²+k+1)
donc on peux conclure que si 3|n alors 9|n²+3n+9 est la propriété est vraie
et 6/ ne va pas du tout !!!
Citation :
6) Si n²+3n+9 est divisible par 9 alors n est divisible par 3
Si 9|n²+3n+9 alors 3|n
On sait que 9 est divisible par 3 donc 3|n²+3n+9
On réécrite la propriété :
Si 3|n²+3n+9 alors 3|n
Donc RFA
3 divise n²+3n +9 et n donc 3 divise toutes combinaisons linéaires de n²+3n+9 et n
Soit 3| n²+3n+9 - [(n+3)n]
= 3| n²+3n+9 - n²-3n
= 3|9
Donc la propriété est vraie
6) Si n²+3n+9 est divisible par 9 alors n est divisible par 3
Si 9|n²+3n+9 alors 3|n
On sait que 9 est divisible par 3 donc 3|n²+3n+9
On réécrite la propriété :
Si 3|n²+3n+9 alors 3|n
Donc RFA
3 divise n²+3n +9 et n donc 3 divise toutes combinaisons linéaires de n²+3n+9 et n
Soit 3| n²+3n+9 - [(n+3)n]
= 3| n²+3n+9 - n²-3n
= 3|9
Donc la propriété est vraie
1/ éviter les on sait que
2/ attention à l'utilisation du symbole = : ici c'est du n'importe quoi car c'est une équivalence (éventuellement et très certainement une implication !!!)
3/ partir de on sait que 3 divise 9 et faire tout un patacaisse pour conclure que 3 divise 9 ... qu'en penses-tu ?
6)
Les restes de la division de n par 3 sont 0,1 et 2.
Donc n ne peut prendre que l'une des formes: n=3k ou n=3k+1 ou n=3k+2
Si n=3k alors n²+3n+9 = 9k²+9k+9 = 9(k²+k+1) donc on a 9|(n²+3n+9) et 3|n
Si n=3k+1 alors n²+3n+9 = (9k²+6k+1)+(9k+3)+9
= 9k²+15k+13 ; on remplace n par 3k+1
= 9(k²+k+1)+6k+4 ; j'ai mis 9 en facteur en sachant que 15k = 9k+5k et
13 = 9+4
donc si 9|(n²+3n+9) alors 9|6k+4
donc 3 divise (6k+4)
comme 6k+4=3(2k+1)+1
donc 3 divise 1
ce qui n'est n'est pas possible
donc n=3k+1 n'est pas possible si 9|n²+3n+9
Si n = 3k+2 alors n²+3n+9 = (9k²+12k+4)+(9k+6)+9
= 9k²+21k+19
= 9(k²+2k+2)+3k+1
donc si 9|(n²+2n+9) alors 9|(3k+1)
et donc 3 divise 1 ce qui n'est pas possible
donc n=3k+2 n'est pas possible si 9|n²+3n+9
en conclusion si 9|n²+3n+9 alors 3|n et la proposition est vraie.
allez toujours pour faire joujou :
9 divise 9 donc 9 divise -9n (RPA)
9 divise n^2 + 3n + 9 et 9 divise -9n donc 9 divise leur somme (n - 3)^2 (RFA)
donc soit 9 divise n - 3 soit 3 divise n - 3
or 9 divise n - 3 => 3 divise n - 3 (puisque 3 divise 9 (RPA))
donc dans tous les cas 3 divise n - 3
or 3 divise 3 donc 3 divise n - 3 + 3 = n (RFA)
carpediem @ 16-10-2018 à 21:16
allez toujours pour faire joujou :
9 divise 9 donc 9 divise -9n (RPA)
9 divise n^2 + 3n + 9 et 9 divise -9n donc 9 divise leur somme (n - 3)^2 (RFA)
donc soit 9 divise n - 3 soit 3 divise n - 3
or 9 divise n - 3 => 3 divise n - 3 (puisque 3 divise 9 (RPA))
donc dans tous les cas 3 divise n - 3
or 3 divise 3 donc 3 divise n - 3 + 3 = n (RFA)
allez toujours pour faire joujou :
9 divise 9 donc 9 divise -9n (RPA)
9 divise n^2 + 3n + 9 et 9 divise -9n donc 9 divise leur somme (n - 3)^2 (RFA)
donc soit 9 divise n - 3 soit 3 divise n - 3
or 9 divise n - 3 => 3 divise n - 3 (puisque 3 divise 9 (RPA))
donc dans tous les cas 3 divise n - 3
or 3 divise 3 donc 3 divise n - 3 + 3 = n (RFA)
je comprend pas la première ligne d'ou sort le -9n