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Niveau terminale
DM Spé TS DIVISIBILITE
Posté par Murielwilla
Bonjour je galère un peu à mon DM de spé math
Le but de l'exercice est de déterminer des couples (u ; w) d'entiers vérifiant l'égalité (1) : u2 - 2w2 = 1.
1. On suppose que (u ; w) est solution.
(a) Prouver que u est impair.
(b) En déduire que u2 − 1 est multiple de 4 puis que w est pair.
(c) Montrer que u et w sont premiers entre eux.
2. (a) Déterminer une solution évidente de l'équation (1).
(b) Monter que si (u ; w) est solution de (1), le couple (3u + 4w ; 2u + 3w) l'est également.
(c) En vous servant du résultat précédent déterminer trois autres solutions de (1).
3. (a) Ecrire un algorithme qui affiche un couple d'entiers supérieurs à 1000 vérifiant (1).
(b) Quel couple affiche-t-il ?
Pour la question 1.(a)
u2 = 2w2+1
u = 
2w2+1
On voit que u=2w2 donne un résultat paire, mais on ajoute 1 qui rend le résultat impaire, et on sait que la racine change pas un nombre impair en un nombre paire.
Donc u= 2k+1
Pour la question 1.(b)
On sait d'après 1.(a) que u2= 2w2+1
donc u2-1 = 2w2
ce qui signifie que 2 divise 2w2 mais pas forcement 4 si ?
et j'arrive pas non plus a dire que w est paire, et je bloque également pour les autres questions.
Merci d'avance pour votre aide.
salut
pour la 1) on pouvait aussi ecrire que u² congru à 1 modulo 2 donc u² est impair et forcement u l'est aussi
pour la 2) puisque u est impair (u=2k+1) alors u² - 1 = (2k+1)²-1 = 2w²
il suffit de developper (2k+1)²-1 = 2w² et la réponse se fera visible
Donc pour la 1.(b)
On sait d'après 1.(a) que u2= 2w2+1
donc u2-1 = 2w2
ce qui signifie que 4 divise 2x2
On a demontrer que dans 1.(a)
on a u impair
donc u2-1 = (u-1)(u+1)
alors u-1 et u+1 sont forcement paire, donc u2-1= 2w2 est pair aussi.
J'ai encore jamais entendu parler de modulo, alors je pense pas que ce soit ça que mon prof attend mais merci bcp flight
Quand tu dit la 2) du parle de la (b)
u² - 1 = (2k+1)²-1 permet d'ecrire que u²-1 est un multiple de 4 ( en developpant)
comme on aura par la suite u²-1 = 4K = 2w alors w=2.K qui est bien pair
Pour la question 1.(c)
On peux dire que u est impair donc = 2k+1 et w est paire donc = 2k
on dit que k | 2k+1 et que k | 2k
donc k divise tout combinaison linaire de 2k+1 et 2k
soit k | (2k+1) - (2k)
k | 1
Donc le PGCD de u et w est égale a 1, u et w sont premiers entre eux.
ma question est, esque on a le droit de remplacer u par 2k+1 et w par 2k ?
flight @ 14-10-2018 à 14:43
u² - 1 = (2k+1)²-1 permet d'ecrire que u²-1 est un multiple de 4 ( en developpant)
comme on aura par la suite u²-1 = 4K = 2w alors w=2.K qui est bien pair
u² - 1 = (2k+1)²-1 permet d'ecrire que u²-1 est un multiple de 4 ( en developpant)
comme on aura par la suite u²-1 = 4K = 2w alors w=2.K qui est bien pair
Mais c'est pas plutôt u²-1 = 4K =2w² ?
il est aussi interressant de connaitre une proprieté
si pgcd(a,b)=1 alors pgcd(a²,b²)=1
supposons que u et w soient premier entre eux alors pgcd(u,w)=1 et d'apres ce qui précede pgcd(u,w)= pgcd(u²,w²)= pgcd(w²,1+2w²)= pgcd(w²+1,w²)=pgcd(w²,1) qui donne 1 aussi
salut
bon je reviens sur quelques trucs ...
Citation :
u =2w2+1
comment peut-on prendre une racine carrée d'un entier quand on travaille dans les entiers ... du grand n'importe quoi
u =
2w2+1par contre on peut dire qu'un nombre et son carré (et toutes ses puissances d'ailleurs) ont même parité
Citation :
On peux dire que u est impair donc = 2k+1 et w est paire donc = 2k
donc u est le successeur de w ?
On peux dire que u est impair donc = 2k+1 et w est paire donc = 2k
u = 2k + 1 et w = 2K éventuellement ...
enfin la première chose qu'on apprend en spé c'est la propriété fondamentale de l'arithmétique : si d divise u et v alors d divise toute combinaison linéaire de u et v
or il est trivial que
bonjour,
(-1)² = +1 voyons ... 
et u² = (-u)² inutile de chercher des u et w négatifs !!
(1; 1) est solution (évidente) de u² - 2w² = -1 et ce n'est pas ce qu'on cherche
par contre "de tête" tu devrais connaitre les carrés
1² = ? 2*1² = ?
2² = ? 2*2² = ?
3² = ? 2*3² = ?
...
tu devrais trouver ton bonheur là dedans ...
D'accord merci donc la solution évidente c'est u=3 et w = 2
On remplace dans l'equation (1) qui est u²-2w²=1
3²-2x2² = 9-8 =1
Donc la solution évidente est (3;2)
Merci beaucoup 
je te déconseille d'écrire le mot évidente puisque une solution (la solution que tu donnes) ne l'a pas été ... 
et pourtant elle était dans l'énoncé (comme dit plus haut) ...
on ne peut pas faire de l'arithmétique sereinement sans un minimum de capacité en calcul mental élémentaire ...
une solution "dite" évidente ne l'est pas toujours
en tout cas peut être n'était-ce pas celle là la solution "évidente" de l'énoncé , mais une solution plus "simple" encore ...
bien sur qu'il y a encore plus simple ...
mais beaucoup aime ce qui est de plus en plus compliqué ...
Ok merci j'ai vu il y a aussi u=1 et w=0
Donc pour la 2b)
On veux montrer que si (u;w) sont solution de l'équation (1) alors le couple
(3u + 4w ; 2u + 3w) l'est aussi
Il suffit de remplacer et de simplifier.
u²-2w² = (3u+4w)² -2(2u+3w)² = 9u²+24uw+16w² - 2(4u²+12uw+9w²)
9u²+24uw+16w² -8u²-24uw -18w² = u²-2w²
on vient de prouver que le couple (3u + 4w ; 2u + 3w) est aussi solution de l'equation (1)
pour la c) Esque je fais par plusieurs essaies ou alors je doit trouver une égalité qui va me donner les couples qui sont solutions ?
tu les obtiens de proche en proche en partant de la solution "évidente" (1; 0) et en appliquant les formules de la question précédente,
c'est bien à ça qu'elles servent non , connaissant une solution à en obtenir une autre ?
Murielwilla @ 16-10-2018 à 19:56
u²-2w² = (3u+4w)² -2(2u+3w)² = 9u²+24uw+16w² - 2(4u²+12uw+9w²)
9u²+24uw+16w² -8u²-24uw -18w² = u²-2w²
qu'en penses-tu ?u²-2w² = (3u+4w)² -2(2u+3w)² = 9u²+24uw+16w² - 2(4u²+12uw+9w²)
9u²+24uw+16w² -8u²-24uw -18w² = u²-2w²
Oui donc on sait que u est impair et w est pair
on sait aussi qu'il sont premier entre eux donc deux termes consécutifs ou autres
alors (3; 2) marche. Le couple (5;4) sont bien premier entre eux mais ce couple marche pas
carpediem @ 16-10-2018 à 20:12
Murielwilla @ 16-10-2018 à 19:56
u²-2w² = (3u+4w)² -2(2u+3w)² = 9u²+24uw+16w² - 2(4u²+12uw+9w²)
9u²+24uw+16w² -8u²-24uw -18w² = u²-2w²
qu'en penses-tu ?u²-2w² = (3u+4w)² -2(2u+3w)² = 9u²+24uw+16w² - 2(4u²+12uw+9w²)
9u²+24uw+16w² -8u²-24uw -18w² = u²-2w²
Je vois que si on remplace u et w par le couple on obtient l'égalité (1)
donc que le couple (3u+4w ; 2u+3w) est solution de l'équation
et on nous demande de trouver trois autre couples
carpediem @ 16-10-2018 à 21:08
carpediem @ 16-10-2018 à 20:12
Murielwilla @ 16-10-2018 à 19:56
u²-2w² = (3u+4w)² -2(2u+3w)² = 9u²+24uw+16w² - 2(4u²+12uw+9w²)
9u²+24uw+16w² -8u²-24uw -18w² = u²-2w²
qu'en penses-tu ?u²-2w² = (3u+4w)² -2(2u+3w)² = 9u²+24uw+16w² - 2(4u²+12uw+9w²)
9u²+24uw+16w² -8u²-24uw -18w² = u²-2w²
Toujours le problème de comment on démontre des choses en général
et ce n'est jamais en commençant par écrire que ce serait vrai avant même de commencer
et si on aboutit à 1 = 1 ou un truc "vrai" du même genre dire que alors l'hypothèse que ce serait vrai est vraie
ce raisonnement là est faux et le sera toujours. par principe.
soit (a; b) une solution de u²-2w² = 1 (1) (bien noter la différence entre une solution, une valeur fixée (a; b) et les inconnues u et w)
on cherche à prouver que (3a+4b; 2a+3b) est aussi une solution de u²-2w² = 1 (1)
donc on calcule (3a+4b)² -2(2a+3b)²
sans écrire à priori que ce serait égal à quoi que ce soit d'autre, on le calcule , honnêtement, parce qu'on n'en connait pas la valeur du tout !!
et pas en écrivant au départ les souhaits qu'on voudrait que cela soit, en prenant ses désirs pour des réalités.
(3a+4b)² -2(2a+3b)² = 9a²+24ab+16b² - 2(4a²+12ab+9b²) = a² - 2b² par uniquement développement et simplification, pas parce que on l'a écrit avant même de commencer
or (a; b) étant une solution a² - 2b² = 1
donc maintenant on sait que (3a+4b)² -2(2a+3b)² = 1
et que donc (3a+4b; 2a+3b) est une solution de u² - 2w² = 1
Citation :
Oui donc on sait que u est impair et w est pair
on sait aussi qu'il sont premier entre eux donc deux termes consécutifs ou autres
alors (3; 2) marche. Le couple (5;4) sont bien premier entre eux mais ce couple marche pas
à quoi ça sert qu'on fasse des questions précédentes si on ne s'en sert pas Oui donc on sait que u est impair et w est pair
on sait aussi qu'il sont premier entre eux donc deux termes consécutifs ou autres
alors (3; 2) marche. Le couple (5;4) sont bien premier entre eux mais ce couple marche pas
en plus j'ai dit qu'il fallait les utiliser ces questions !!
et l'énoncé aussi le dit !!
la question 2c) En vous servant du résultat précédent déterminer trois autres solutions de (1) c'est bien en vous servant de 2b !! et "trois solutions" c'est pas prouver qu'il n'y en aurait pas d'autres "plus petites"
on en demande trois quelconques de ces solutions
on sait que (1; 0) est une solution (question 2a)
donc ce qu'on vient de prouver question 2b donne directement que (3*1+4*0; 2*1+3*0) est aussi une solution
c'est à dire (3; 2) (sans avoir eu à "essayer" quoi que ce soit)
maintenant on sait que (3; 2) est une solutions
donc toujours les mêmes formules de la question 2b nous disent que (3*3+4*2; 2*3+3*2) est une solution etc etc
sans chercher à deviner je ne sais quoi sur le fait qu'ils seraient ou pas premiers entre eux ou je ne sais quoi et essayer des valeurs pour voir, on s'en fiche
on a une formule générale (question 2b) qui permet de trouver directement toutes les solutions (tout au moins une infinité de solutions), les unes après les autres.
question 3, c'est le même procédé qu'il suffit de poursuivre, et comme c'est fastidieux à la main, on peut le programmer.
Bonjour à tous,
Je trouve l'introduction des lettre a et b très lourde et pas vraiment dans l'esprit des notations dans l'énoncé de la question 2.(b).
Pourquoi ne pas conserver u et v avec u2 - 2w2 = 1 et poser
u' = 3u+4w w' = 2u+3w ?
Il suffit ensuite de calculer u'2-2w'2 .
En fait, la seule chose qui n'allait pas dans
Citation :
u²-2w² = (3u+4w)² -2(2u+3w)² = 9u²+24uw+16w² - 2(4u²+12uw+9w²)
9u²+24uw+16w² -8u²-24uw -18w² = u²-2w²
c'est le premier u2-2w2 qui, pour Murielwilla, était u'2-2w'2 .u²-2w² = (3u+4w)² -2(2u+3w)² = 9u²+24uw+16w² - 2(4u²+12uw+9w²)
9u²+24uw+16w² -8u²-24uw -18w² = u²-2w²
il n'y a pas besoin de notation artificielle donc inutile
on suppose que le couple (u, v) est solution ... et calcule simplement
et on utilise l'hypothèse ... quand elle sera nécessaire ... de même que pour le raisonnement par récurrence ou tout autre raisonnement où chaque hypothèse intervient à un moment adéquat !!!