Le premier est vraiment très simple, il suffit de remplacer les valeurs. J'en fais un comme exemple:
z=1+i => x=1 et y=1


(2)

Or e^y n'est jamais nul et cos(x) et sin(x) ne peuvent jamais être nuls pour un même x.




L'argument de f est donc x.

(3)
z'=x'+y' => z+z'=(x+x')+i(y+y')


Pour f(z-z')=f(z)/f(z') soit tu fais pareil que moi pour f(z+z'), soit tu fais f(z-z')=f(z)f(-z') et tu regardes ce que vaut f(-z').

Pour f(nz) c'est baeucoup plus facile car f(nz)=f(z+(n-1)z)=f(z)f((n-1)z)=...=nf(z)

Pour le 4 j'ai pas encore regardé et je dois partir, alors je te laisse digérer déjà 1-2-3.

Isis

merci pour ces premieres questions je blok surtout a la 4 en faite..vé y réflchir merci qd mm

C'est pour ça qu'on te demande d'indiquer les parties du problème que tu as déjà faites et les parties qui te posent problèmes. Celà m'aurait évité d'expliquer des choses que tu comprends déjà et on aurait pu passer directement là où tu as besoin d'aide...


donc
cos(x)+isin(x) est le cercle de centre 0 et rayon 1.


y=1: f(z)=e(cos(x)+isin(x))
ceci est un cercle de centre 0 et rayon e.

Si tu fais varier y tu fais varier le rayon du cercle. Donc si le rayon minimal est e^-1 et le rayon maximal e, on aura un disque avec un trou en forme de disque, je crois qu'on appelle cette forme une couronne.

Isis

Oula..pourrais tu m'expliquer pourkoi on fais cela? je n'ai pas trop compris cette question et ton raisonnement..

Merci d'avance..

Si est un angle en radians, on peut toujours l'écrire comme étant un angle entre - et car là on fait un tour complet.

Sur mon dessin j'ai un cercle de rayon 1. En projetant un point du cercle sur l'axe réal on trouve et en projetant le même point sur l'axe imaginaire on trouve . Donc si varie de à , les points du plan complexe décrivent le cercle de rayon 1.

Ceci est ce qui arrive dans ton problème. Mon est ton .

C'est plus clair?

Isis

Voilà de quoi t'aider encore:
Sur l'image j'ai mis en rouge le lieu géométrique des f(z) avec z=x+iy et x fixé () et y positif (variant de 0 à plus de e. Si y varie seulement de 1/e à e, ce lieu géométrique se réduit à la partie rouge coicée entre les deux cercles noirs.

En vert tu as le lieu des f(z) avec z=x+iy et y fixé () et x variant de -1 à 1.

Isis

Ok bah je vé voir ca! jte remerci bocoup merci de m'avoir consacré un pe de tps pr répondre..
Ciao

Bonsoir,

Je remonte ce vieux post, car une question me pose problème.
Tout d'abord merci isisstruiss, tout est parfait sauf un détail.
J'aimerais savoir comment isisstruiss a calculé le module de f(z)(QUESTION 2), l'étape intermédiaire passant de l f(z) l ² à l f(z) l m'échappe ...

Merci!

Bonjour

Une autre méthode que celle d'isis :

tu as f(z) = (e^y)( cos(pi.x) + i.sin(pi.x) ) = (e^y)( e^i(pi.x) )

donc

|f(z)| = | (e^y)( e^i(pi.x) ) | =  | e^y |.| e^i(pi.x) |

or e^y >0 => | e^y | = e^y et arg(e^y)=0
et
e^i(pi.x) est un complexe de module 1 et d'argument pi.x

donc

|f(z)| = | (e^y)( e^i(pi.x) ) | =  | e^y |.| e^i(pi.x) | => |f(z)| = e^y
et
arg( f(z) ) = 0 + pi.x => arg( f(z) ) = pi.x

Ok ?

Philoux

pour la 3) tu avais aussi :

tu as f(z) = (e^y)( cos(pi.x) + i.sin(pi.x) ) = (e^y)( e^i(pi.x) )

f(z) = e^(y+i.pi.x)

f(z') = e^(y'+i.pi.x')

f(z+z') =  e^( (y+y')+i.pi.(x+x') ) =  e^( (y+i.pi.x)+(y'+i.pi.x') ) = ( e^(y+i.pi.x) ).( e^(y'+i.pi.x') ) = f(z).f(z')

bien que je ne sois pas certain que les propriétés de e^z, z € Z soient vues en Terminale...

Philoux

Merci, tout est très clair maintenant!

Bonne journée!

Philoux