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Niveau terminale
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DM sur la divisibilité dans Z

Posté par
RrixX
26-10-20 à 17:24

Bonjour,

J'ai un DM de maths expertes à rendre pour la rentrée... et je sèche :/

Le sujet, c'est :
Démontrer que pour tout entier naturel n, un seul des trois nombres n, n+2 et n+4 est divisible par 3
On pourra raisonner par disjonction de cas en remarquant que tout entier naturel n s'écrit sous l'une et une seule des formes 3k, 3k+1, 3k+2 où k est un entier.

Je pensais passer par les congruences, mais le prof préfère qu'on passe par les relations de divisibilité/ divisions euclidiennes pour ce DM...

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur la divisibilité dans Z 26-10-20 à 17:25

Bonjour,
Tu traites les 3 cas l'un après l'autre.

Posté par
RrixX
re : DM sur la divisibilité dans Z 26-10-20 à 18:05

Bonjour sylvieg,
Merci pour votre réponse !
C'est justement ce point qui me laisse perplexe haha. Est-ce que je traite d'abord le cas où n est divisible par 3, démontre que dans ce cas n+2 et n+4 ne sont pas divisibles par n (et fais de même en partant avec les n+2 puis n+4), ou je montre que seul l'un des trois est divisible par 3 (n est divisible ou non par 3, et de même avec n+2 et n+4) ?
J'espère que ma question est assez claire ^^
Merci encore !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur la divisibilité dans Z 26-10-20 à 18:10

Tu sépares bien les 3 cas.

Tu commences avec le cas n = 3k.
Tu remplaces n par 3k dans n, n+2 et n+4.
Tu cherches les restes dans la division euclidienne par 3 de n, n+2 et n+4.
tu constates qu'un seul des trois restes est nul.

Tu fais pareil avec les deux autres cas.

Posté par
RrixX
re : DM sur la divisibilité dans Z 26-10-20 à 18:14

D'accord, merci beaucoup !!
Passez une bonne soirée !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur la divisibilité dans Z 26-10-20 à 18:22

De rien et bonne soirée aussi
N'hésite pas à revenir si tu as du mal à aboutir.

Posté par
carpediem
re : DM sur la divisibilité dans Z 26-10-20 à 18:34

salut

en lisant

Citation :
On pourra raisonner par disjonction de cas en remarquant que tout entier naturel n s'écrit sous l'une et une seule des formes 3k, 3k+1, 3k+2 où k est un entier.
je ne m'enlise pas pas dans une disjonction de cas en remarquant que :

3k, 3k + 1 et 3k + 2 sont trois entiers consécutifs
n + 2 = n + 3 - 1, n + 3 et n + 4 = n + 3 + 1 sont trois entiers consécutifs
n = n + 3 - 3 donc n est comme n + 3 (par rapport à la division euclidienne par 3)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur la divisibilité dans Z 26-10-20 à 18:38

"on pourra" : Ce n'est donc pas une obligation. Mais ce n'est pas non plus interdit de suivre l'indication

Posté par
carpediem
re : DM sur la divisibilité dans Z 26-10-20 à 18:57

bien sûr et c'est pourquoi je t'ai laissé poursuivre jusqu'au bout sans intervenir avant ...

Posté par
RrixX
re : DM sur la divisibilité dans Z 28-10-20 à 10:20

Bonjour, merci pour vos réponses, elles m'ont vraiment aidées ! ^^
Pour ce qui est de la méthode, je préfère partir sur une disjonction de cas, j'ai plus de mal à expliquer pour les entiers consécutifs.
Est-ce que vous auriez quelques conseils pour la rédaction d'une disjonction de cas ?
Merci encore !



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