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Dm sur les fonctions (bio sup)
Bonjour, j'ai un gros problème avec mon devoir à la maison, je n'arrive pas à commencer les deux exercices, j'ai beau chercher, je ne vois pas comment m'y prendre. Pourriez-vous m'aider? Je panique complètement, c'est pour mardi et il me reste encore plein d'autres choses à faire.
Merci d'avance
Exercice 1
Soit m un réel strictement positif. On considère la fonction définie par:
f m (x)=arcsin ((x+l)/V(2(x²+m²))
1) Montrer que fm est bien définie sur R e qu'elle y est continue.
2) Etudier la dérivabilité de fm, puis montrer que si x différent de m, fm'(x)=((m-x)/|m-x|)(m/(x²+m²)
3) Etudier les variations de fm, déterminer ses limites aux bornes de R et dresser sontableau de variations.
4) On considère la fonction gm définie (et dérivable) sur R par gm(x)=arctan (x/m)
Calculer sa dérivée gm'. En déduire une simplification de fm
5) Représenter graphiquement, et sommairement, f1, en prenant soin de représenter certains éléments : la tangente au point d'abscisse, les asymptotes et, s'il en existe, les points anguleux.
Exercice 2
Soit a, b, c trois réels. On suppose que toutes les expressions où ils apparaissent dans la suite de l'exercice sont bien définies.
1) Montrer que tan 5 a= (A tan a)/(B tan a) avec A(x)=x^5-10x^3+5x et B(x)=5x^4-10x²+1
Indication : partir de l'expression de tan (a+b)
2)Montrer qu'il existe un polynôme Q tel que A-B=(x-1)Q
3) On suppose désormais alpha =pi/20
a) En considérant tan (5a), montrer que tan a est une racine de Q
b) Montrer que les autres racines de Q sont tan (9pi/20), tan (13 pi/20) et tan (17pi/20)
4) a) Montrer que, pour tout x réel non nul, Q(x)=x²P(x+1/x) où P est un polynôme du second degré que l'on précisera.
b) Déterminer les racines de P. en déduire les racines de Q.
c) Déterminer les valeurs exactes de tan (pi/20), tan (9pi/20), tan (13 pi/20) et tan (17pi/20)
J'ai fait une fautte de frappe : c'est f m (x)=arcsin ((x+m)/V(2(x²+m²))
J'ai réussi pour le début : pour l'ensemble de définition, il n'y a pas de pb mais pour la contnuité arcsin est continue sur ]-1;1[ mais pas en -1 ni en 1 or pour x=m
((x+m)/V(2(x²+m²)) =1 donc comment faire pour montrer que fm est continue sur R?
Attention , en +/-1, la fonction arcsinu n'est pas dérivable, mais elle est continue
Etudie les variations de u=(x+m)/V(2(x²+m²): tu dois trouver que u est une fonction continue (et dérivable) de x et que -V2/2<u<=1
donc fm(x) est une fonction continue de x
Pour le second exo, il faut en effet partir de tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
donc si x=tana, tan2a=2x/(1-x^2),
tan3a=tan(2a+a)=(tana+tan2a)/(1-tanatan2a)=...
et tan5a=tan(3a+2a)=(tan3a+tan2a)/(1-tan3atan2a)=...
Merci beaucoup, J'en suis à la question 4, j'ai calculé gm'(x) je trouve m/(x²+m²) mais je ne vois pas comment faire le lien avec fm.
Merci encore
J'ai réussi à finir l'exercice 1, en ce qui concerne l'exercice 2, je n'arrive pas à trouver Q, j'arrive à A-B=(x-1)^5-2 mais je ne vois pas quoi en faire...
Merci encore
j'ai réussi à trouver Q: X^4-4X^3-14X^2-4X+1
mais je n'arrive pas à faire la question suivante.
Merci encore
fm'=gm' si x<m et fm'=-gm' si x>m. Pour x=m fm(m)=arcsin1=pi/2
soit fm(x)=arctan(x/m)+pi/4 pour x<m et fm(x)=-arctan(x/m)+3pi/4 pour x>m
puisque A(x)=x^5-10x^3+5x et B(x)=5x^4-10x²+1
A-B (x)=x^5-5x^4-10x^3+10x^2+5x-1
deux méthodes: la division euclidienne (+ lourd) ou l'utilisation des identités remarquables
(A-B)(x)=x^5-1 -5x(x^3-1)-10x^2(x-1)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)-5x(x-1)(x^2+x+1)-10x^2(x-1)
=(x-1)(x^4-4x^3-14x^2-4x+1)
vérifie quand même mon calcul...
si a=pi/20, 5a=pi/4 donc tan5a=1 ou tan5a-1=0
Or tan5a-1=A(x)/B(x)-1=(A(x)-B(x))/B(x)=(x-1)Q(x)/B(x) et comme x=tana n'est pas égal à 1, x est racine de Q(x)
idem en faisant a=9pi/20), 13 pi/20 et 17pi/20
Enfin Q est polynome palindrome (les coefficients sont les mêmes qu'on les lise dans un sens ou l'autre) donc
Q(x)=x^4-4x^3-14x^2-4x+1=x^2((x^2+1/x^2)-4(x+1/x)-14) et comme x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2
Q(x)=x^2((x+1/x)^2-4(x+1/x)-16) qui est bien de la forme souhaitée avec P(z)=z^2-4z-16 dont les racines sont 2(1+/-rac(5))
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