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Dm sur les nombres complexe pas facile
Bonjour.Cela fait de nombreux jours que je travail sur un devoir maison sur les nombres complexes et malgré de nombreux essai je n'arrive toujours à rien.Alors pourriai vous m'aider s'il vous plais?Par avance merci pour toute l'aide que vous pourrai m'apporter.Voici le sujet.
I)On considére l'équation : (E) 2z^3+2(1-3i)z^2+(1-6i)z-3i=0
1)Montrez que (E)admet une solution imaginaire pure que l'on calculera.
2)Factoriser le premier mmebre de (E).
3)Résoudre (E).
II)Répondre pas vrai ou faux (les réponses seront justifiées).
rappel : m est un point invariant par f si f(M)=M (cad si z'=z)
M' est le p^rojeté orthogonal de M sur (D) si M'appartient à (D) et si le vecteur MM' est hortogonal à (D).
Le plan complexe (P) est muni d'un repére oethogonal direct (O;u;v).
Soit f l'application qui,à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'.
1)Il existe un unique point invarian par f.
2)Les vecteurs Om' et u+v sont colinéaires.
3)Pour tout zappartient à C, (z'-z)/(1-i) est réel.
4)les vecteurs MM' et u-v sont colinéaires.
5)f est la projection orthogonale sur la droite (D) d'équation y=x.
Une fois encore merci pour votre aide car ce sujet me pose un réel probléme.
I
Supposons que z = k.i soit solution de (E), alors on a:
2.(ki)³ + 2(1-3i).(ki)² + (1-6i).ki - 3i = 0
-2k³i - 2k²(1-3i) + (1-6i).ki - 3i = 0
-2k³i - 2k² + 6k²i + ki + 6k - 3i = 0
i(-2k³ + 6k² + k - 3) - 2k² + 6k = 0
Pour que ce soit possible, il faut que le système suivant soit satisfait:
-2k² + 6k = 0 (1)
-2k³ + 6k² + k - 3 = 0 (2)
-2k² + 6k = 0
-2k(k -3) = 0
k = 0 ne satisfait pas (2) --> ne convient pas.
k = 3:
dans (2) --> -2*27 + 6*9 + 3 - 3 =? 0
-54 + 54 + 3 - 3 =? 0
0 = 0 --> OK
Et donc k = 3 convient.
--> z = 3i est solution de (E)
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Conclusion:
2z^3+2(1-3i)z^2+(1-6i)z-3i est divisible par (z - 3i)
On réalise cette division et on trouve comme quotient : 2z² + 2z + 1
(E) est donc équivalent à:
(z-3i).(2z² + 2z + 1) = 0
2z²+2z + 1 = 0
z = [-1 +/- V(1-2)]/2
z = (-1 +/- i)/2
--> E est équivalent à:
(z-3i).(z + (1 - i)/2)(z + (1 + i)/2) = 0
---
Les solutions de E sont donc:
z1 = 3i
z2 = -(1/2) - (1/2)i
z3 = -(1/2) + (1/2)i
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Sauf distraction. 
Merci a vous j'ai bien compris ce que vous m'expliquiez pour le I.
Certaines personnes pourraient elles m'aider pour le II si cela est possible s'il vous plait?Car j'ai reaysé de le faire aprés avoir posté ce sujet et je n'y parvient toujours pas.Encore merci a vous
Désolé je viens de me rendre compte qu'une phrase est incompléte.
Soit f l'application qui,à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que : z'=1/2(z+izbarre)
z barre pour dire le conjugué de z.
Voila merci pour votre aide.
Encore merci à JP garce a qui j'ai tout compris
Au secour qqn je galére vraiment sur cette partie II 
II)
1)
z'=(1/2).(z+i.zbarre)
Invariant si z' = z, donc si:
z = (1/2).(z+izbarre)
(1/2).z = (1/2).i.zbarre
z = i.zbarre
(x+iy) = i(x-iy)
x + iy = ix + y
(x-y) + i(y-x) = 0
Ce qui n'est possible que si x = y
z = x + ix convient quel que soit x
Il y a donc une infinité d'avariants, tous les points de la droite y = x conviennent.
--> 1 est faux
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2)
z'=(1/2).(z+i.zbarre)
z = x+iy
z'=(1/2).(x+iy + i.(x-iy))
z'=(1/2).(x+iy + ix +y)
z'=(1/2).[(x+y) +i(x+y)]
z'=(1/2).(x+y).(1+i)
Et donc quel que soit x+y, on a z' = k(1+i) avec k = (x+y)/2 un réel
vecteur(OM') est donc colinéaire avec (u+v) puisque vecteur u + vecteur v = 1 + i
--> 2 est vrai
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3)
(z'-z)/(1-i)
= ((1/2).(z+i.zbarre) - z)/(1-i)
= [(1/2).( x + iy +i.(x-iy)) - x - iy]/(1-i)
= [(1/2).( x + iy +ix +y) - x - iy]/(1-i)
= [-(1/2).x - (1/2).iy +(1/2)ix +(1/2)y]/(1-i)
= (1/2)[(y-x) +i(x-y)]/(1-i)
= (1/2).(y-x).(1-i)/(1-i)
= (1/2).(y-x) qui est réel.
--> 3 est vrai.
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Essaie de continuer (et vérifie ce que j'ai fait).
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