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Dm sur nombres complexes
bonjour j'ai deux exercices qui me posent des problèmes.
voici le premier exo:
Soit P le polynôme complexe defini par P(z)=z^3 + (2+2i)z^2+(5i-4)z-3-3i
1.Montrer qu eP possède une racine réelle z1 et une racine imaginaire pure z2
2.Factoriser P(z) sous la forme P(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3) et résoudre l'equation P(z)=0
et voici le deuxième:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0,
,
).Soit A le point d'affice 4.On note d la droited'equation x=4,privée du point A.A tout point M, différent de A,d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z',tel que z'= (z-4)/(4- z(barre))
1.a soit B le point d'affixe 1+3i.Déterminer l'affixe du point B' associé au point B
b.soit x un nombre réel différent de 4.On note R le point d'affixe x.Déterminer l'affixe du point R' associé à R.
c.soit y un nombre réel non nul. on note S le point de d d'affixe 4+iy.Déterminer l'affixe du point S' associé à S.
d.Démontrer que z' = 1 si et seulement si M 
d
2. Soit M un point n'appartenant pas à d (donc différent de A).Démonter que , pour tout nombre complexe z 
4 , (z'-1)/ ( z-4) est un réel k
En déduire que la droite (S'M') est bien ddéfinie et parallèle a la droite (AM)
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
tu remplaces z=a dans l'éq et tu doid trouver a=-3
c'est de l'application de cours
Philoux
oui mais pour trouver l'imaginaire pure il faut remplacer z par ib non?!
par contre pour le second exo je sias pas du tout je remplace z par les affixes mais je trouve des resultats bizarres
justement je ne sais pas car je trouve -1 à B' mais apres le reste je sais pas tu peux m'aider?!
oui pour B'
pour R' remplaces z par x (x réel)
Philoux
oui mais le pb c'est que je trouv eencore -1 et ca me parait bizarre
justement je ne sais pas a moins que c'est agal a z/z(barre) c'est ca ?!
tu en déduis que tout complexe qui est réel (Im=0)(avec x différent de 4 => M différent de A) a pour image z'=-1
f(z=a, a diff 4) = -1
tu essayes pour S'
Philoux
par contre pour l epremier exo pour la factorisation je bloque!!!
que z'=1 si et seulement si M a pour affixe 4+iy c'est ca?
et pour le premier exo la factorisation je bloque tu peux m'aider?
Premier exercice
Désolé, je ne m'appelle pas philoux.
Si tu as trouvé z1 et z2, tu as z3 sans problème, puisque :
(-z1).(-z2).(-z3)=-3-3i (il suffit de développer la forme factorisée)
merci pour votre aide!!!et pour lexo 2 il me manke donc le 1 d et le 2.
pardon pour 11:34
j'avais pas compris 
Philoux
j'avais un aure exo aussi mais je l'ai fait je veux juste savoir si j'ai juste:
A tout point M d'affixe z on associe le point M' d'affixe z'=(z-1)(z(barre)-i)
Déterminer la nature et représenter l'ensemble des points M tels que le point M' appartiennent a l'axe des ordonnées j'ai trouver cercle de centre A (1/2;(1/2)i) et de rayon 1/2 c'est ca ?
Exo 1.
P(z)=z^3 + (2+2i)z^2+(5i-4)z-3-3i
Supposons que z1 = k.i soit racine de P(z)
On a alors: k³.i³ + (2+2i).k²i² + (5i-4).ki-3-3i = 0
-ik³ - 2k² - 2k²i - 5k - 4ki - 3 - 3i = 0
- 2k² - 5k - 3 -i (k³ + 2k² + 4k + 3) = 0
On doit doit avoir le système suivant satisfait:
- 2k² - 5k - 3=0
k³ + 2k² + 4k + 3 = 0
- 2k² + 5k - 3=0 --> k=-1 et k = -1,5
Seul k = -1 convient pour satisfaire la seconde équation.
--> z1 = -i
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P(z)=z^3 + (2+2i)z^2+(5i-4)z-3-3i
Supposons que z2 = k' soit racine de P(z)
k'³ + (2+2i).k'² + (5i-4).k' - 3 - 3i = 0
k'³ + 2 k'² - 4k'-3 + i(2k'² + 5k'- 3) = 0
On a alors le système:
k'³ + 2 k'² - 4k'-3 = 0
2k'² + 5k'- 3 = 0
k' = -3 et 5 par la seconde équation.
Mais seul k'=-3 convient paur la 1ère équation.
--> z2 = -3
----
On sait donc que P(z) est divisible par (z + i)(z + 3)
soit par (z² + (3+i)z + 3i)
On fait la division et on obtient:
P(z) = (z + i)(z + 3).(z - 1 + i)
Et donc les solutions de P(z) = 0 sont:
z1 = -i
z2 = -3
z3 = 1 - i
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Sauf distraction. 
est il possible de savoir la reponse?merci d'avance!
je trouve deux segments de droites
(x-1/2)² = (y+1/2)²
y=x-1 pour x>1/2
y=-x pour x<1/2
à vérifier
Philoux
oups !
j'ai résolu (z-1)/(zb-i)=ib
oublies...
Philoux
(z-1)(zb-i)=ib
(x-1+iy)(x-(y+1)i)=ib
=> Re=0
x(x-1)+y(y+1)=0
(x-1/2)²+(y+1/2)=1/2
cercle centre (1/2;-1/2) et r=V2/2
Philoux
oui c'est ca si je mets la racine en haut ca j'ai bien reussi l'exo alors!!!je suis contente par contre pour le deuxieme exo qu'est ce qu'il faut que je fasse au 1 d et 2. ? merci
en fait tu dois rajouter
Im = b
xy-(x-1)(y+1)=b
-x+y+1=b => y=x+b-1 (D)
comme b est quelconque (pas de condition sur b), la droite (D) pourra couper le cercle précédent en tout point
le cercle précédent est tout entier solution
Philoux
Vérifies, faisant trop de chose en mm temps, je fais beaucoup d'erreur
Attention xxx, tu t'étais trompé dans les coord du centre (signe et pas de i) ainsi que dans la valeur du rayon
Philoux
Essaie d'ouvrir un nouveau topic quand tu changes de problème, sinon c'est infernal pour arriver à se comprendre.
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z'=(z-1)(z(barre)-i)
z = x+iy
z' = (x-1+iy) . (x-i(y+1))
z' = x(x-1) + y(y+1) + i(xy-(x-1)(y+1))
Il faut x(x-1) + y(y+1) = 0
x² - x² + y² + y = 0
(x - (1/2))² - (1/4) + (y + (1/2))² - (1/4) = 0
(x - (1/2))² + (y + (1/2))² = 1/2
Donc M sur le cercle de centre(1/2 ; -1/2) et de rayon = 1/V2
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Sauf distraction.
ok merci mai pour les coordonnées du centre j'ai juste fait faux en mettant le i car sinon après j'avais rectifier pour le signe et la valeur du rayon
ok j'ai vu tes 11:42 et 11:44
Si tu veux essaies de répondre aux mêmes questions avec : z'=(z-1)/(zb-i)
Philoux
2. Soit M un point n'appartenant pas à d (donc différent de A).Démonter que , pour tout nombre complexe z <> 4 , (z'-1)/ ( z-4) est un réel k
((z-4)/(4-zb)-1)/(z-4) = ( (z-4-4+zb)/(4-zb) )/(z-4) = ( (-8+(z+zb) )/( (4-zb)(z-4) )
le numérateur est réel car z+zb=2Re
quant à (4-zb)(z-4) = 4(z+zb)-16-z.zb
or
z+zb=2Re
et
z.zb =|z|² réel
=> le dénominateur est aussi réel
=> (z'-1)/(z-4) est réel
Philoux
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