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DM : Un problème d' optimisation
Bonjour,
DM : Un problème d' optimisation
Une entreprise fabrique des boîtes de conserve cylindrique de 1 litre (1000 cm³). Pour utiliser le moins de métal possible, on cherche à minimiser la surface de la boîte.
On se propose donc de chercher une approximation du rayon x de la boîte cylindrique de hauteur h contenant un litre, qui va rendre la surface de la boîte minimale.
Première Partie : recherche de l'expression de la surface de la boîte en fonction de de x
1- Exprimer le volume V en fonction de h et de x. Comme ce volume est de 1000 cm³, en déduire h en fonction de x. (les formules de volumes seront utiles).
2-Exprimer l'aire latéral de la boîte (c'est un rectangle) et les aires des deux bases circulaires. - 2000
En déduire que la surface totale de la boite (en cm²) est : f(x) = 2πX² + ˉˉˉˉˉˉˉˉ
X
Deuxieme Partie : approximation du minimum de la fonction
1- Programmer cette fonction et visualiser la courbe dans une fenetre : X € [0;15]
Y € [-100; 1200].
Reproduir l'écrand de Géo Gébra
JE SAIS FAIRE CELA DONC VOUS POUVEZ SAUTER !
2-A l'aide de la tablette de votre calculatrice, rechercher une valeur approchée à 0,1 près du rayon X qui rend la surface minimale. Affiner votre recherche et trouver une valeur approchée à 0,01 près (Vous pouvez aussi utiliser le solveur graphique pour les CASIO).
JE NE COMPREND RIEN A CELA !
3-Calculer alors le diametre et la hauteur de la boîte (une approximation) pour cette valeur approchée. Quelle particularité trouve t-on ?
Troisième Partie : Si la Boîte est cubique, le volume d'un litre, donner l'arrête du cub, puis calculer la surface totale de la boîte. Comparer à la surface de la boîte cylindrique.
Merci d'avance
bonsoir,
1) Exprimer le volume V en fonction de h et de x .
V=surface de base*hauteur
la surface de base est un cercle=pi*x²
V=pix²h
Comme ce volume est de 1000 cm3, en déduire h en fonction de x.
1000=pix²h
h=1000/pix²
2)Exprimer l'aire latérale de la boîte (c'est un rectangle)
ce rectangle à pour longueur le périmètre du cercle de base et pour largeur la hauteur du cylindre
périmètre d'un cercle=2pix
et les aires des deux bases circulaires.
ires des 2 bases=2(pix²)
En déduire que l'aire totale ( en cm2) est:
il suffit d'additionner et de remplacer h par la valeur en fonction de x trouvée en 1)
f(x)= 2л x² +2000 / x
Pour l'étude graphique , rentre ta fonction dans le tableur de ta calculette tu obtient différente valeurs ,
...
x = 5,3 ; f(x) = 553,8531658
x = 5,4 ; f(x) = 553,5880539
x = 5,5 ; f(x) = 553,7027192
... tu remarque que f(x) est minimale pour x = 5,4 à moins de 0,1 près. Tu refais la même chose en réduisant la pas du tableur
Merci beaucoup tu m'a bien fait avancé je suis maintenant a la 3eme partie et la je blogue comme ELOROM
Es-ce cela ?
Si x est l'arête du cube, alors x^3=1000
Donc l'arête du cube est x= \sqrt[3]{1000} = 10
La surface totale est donnée par 6 carrés de côtés égaux à 10 cm.
L'aire totale vaut 6 * 10² = 6 * 100 = 600 cm²
Cette aire totale est supérieure à celle que l'on obtient avec le cylindre puisque 600 > 553,58.
merci pour ton raisonnement, je pense que tu as raison ça confirme ce que je pensais.bonne continuation
Bonjour
J'ai le même genre de sujet J'ai réussi à faire tout le début
mais je ne sais pas entrer la fonction dans ma Casio GRAPH35+E
J'ai bien étudié le mode d'emploi mais j'avoue que c'est super long et imbuvable.
Est-ce que quelqu'un pourrait me donner la marche à suivre pour entrer la fonction f(x)=2πx²+1700/x dans ma calculatrice
et ainsi je pourrais trouver la valeur approchée de x
merci d'avance
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