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Domaine de convergence.

Posté par
matheux14 25-04-24 à 12:35

Bonjour,

Merci d'avance.

Pour x \in \R et a > 0 on pose : f_a(x) = \sum\limits^{\infty}_{n = 1} \dfrac{x^n}{n^a}

1) Déterminer en fonction de a le domaine de définition D_a de la fonction f_a.

2) Montrer que pour tout a > 0, fa est de classe C^{\infty} sur ]-1 ; 1[.

3) Déterminer l'ensemble E_1 des valeurs de a telles que f_a est continue à gauche en 1.

4) Montrer que si a \notin E_1 on a \lim\limits_{x \longrightarrow 1^-} f(x) = + \infty.

5) Déterminer  l'ensemble E_{-1} des valeurs de a telles que f_a est continue à droite en -1.

6) Déterminer l'ensemble E'_{-1} des valeurs de a telles que f_a est dérivable à droite en -1.

7) On admet que f_2(1) = \dfrac{\pi^2}{2}. Calculer f_2(-1) et f'_2(-1).

Réponses :

1) Pour p = 2n > q = n, on montre que |S_p - S_q|\ge x, \forall x \in [0 ; 1], \forall a > 0. (La suite S_k = \sum^N_{k = 1} \dfrac{x^k}{k^a} n'est pas de Cauchy).

D_a = \{x \in ]-\infty ; 0[ \cup ]1 ; + \infty[ \} \cap \{a \in \R^+_*\}

Posté par
carpediemre : Domaine de convergence. 25-04-24 à 14:34

salut

ta réponse ne veut rien dire ...

quelques éléments :

a/ on peut remarquer que f_1(1) est la série harmonique

b/ la fonction exponentielle n \mapsto n^a = e^{a \ln n} l'emporte sur la fonction puissance x \mapsto x^n

c/ la réponse 2/ te dit que D_a \supset ]-1, 1[

Posté par
matheux14re : Domaine de convergence. 25-04-24 à 20:07

Pour la question 1) je veux dire que la serie converge si |x| < 1, c'est-à-dire D_a = ]-1 ; 1[, or la suite S_k = \sum^N_{k = 1} \dfrac{x^k}{k^a} n'est pas de Cauchy sur cet intervalle..

Posté par
carpediemre : Domaine de convergence. 25-04-24 à 20:54

on a évidemment |f(x)| \le \sum_1 |x|^k qui converge sur ]-1, 1[ et même [-1, 1[

et vu la question si a > 1 alors il y a convergence sur [-1, 1]

Posté par
carpediemre : Domaine de convergence. 25-04-24 à 20:54

et vu la question 3/

Posté par
matheux14re : Domaine de convergence. 27-04-24 à 12:51

J'ai pas compris, |f(x)| est majoré par \dfrac{|x|(|x|^n + 1)}{|x| - 1}, pourquoi

Citation :
...et même [-1, 1[
?

Citation :
et vu la question si a > 1 alors il y a convergence sur [-1, 1]


Chaud

Posté par
matheux14re : Domaine de convergence. 27-04-24 à 12:53

Citation :
J'ai pas compris, |f(x)| est majoré par \dfrac{|x|(|x|^n {\red{-}} 1)}{|x| - 1}

Posté par
carpediemre : Domaine de convergence. 27-04-24 à 13:57

si n > 0 et a > 0 alors n^a \ge 1 donc \left | \dfrac {x^n}{n^a} \right | \le |x^n|

PS : pas nécessaire à priori de calculer la somme mais simplement de savoir qu'elle converge ...

Posté par
matheux14re : Domaine de convergence. 27-04-24 à 22:46

J'ai calculé la somme pour mieux comprendre pourquoi \sum_1 |x|^k converge sur  [-1, 1[ et pourquoi à partir de a = 2, on peut prendre [-1 ; 1] comme domaine de convergence de f_a.

Mais je ne vois toujours pas vraiment...


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