Niveau LicenceMaths 2e/3e a

domaine de R^2

Posté par
jbsph 21-04-24 à 11:01

Bonjour, je n'arrive pas à déterminer un domaine.
on a 0<x<1 et 0<y<1, z=xy et t=x/y
je voudrai déterminer t en fonction de z. Je vois que 0<z<1 mais comment obtenir que z<t<1/z ?

Posté par re : domaine de R^2 21-04-24 à 11:12

Bonjour,
Pour démontrer A < B, on peut s'intéresser au signe de B-A

Posté par re : domaine de R^2 21-04-24 à 11:18

Bonjour,

Autre façon : t=z/y²=x²/z d'où z et 1/z par rapport à t.

Posté par re : domaine de R^2 21-04-24 à 13:31

Ok, merci beaucoup, une pour déterminer et une pour vérifier!

Posté par re : domaine de R^2 21-04-24 à 18:12

Bonjour

on peut aussi remarquer que,

$\Large\boxed{\left(t-z\right)\left(\frac{1}{z}-t\right)=\left(\frac{x}{y}-xy\right)\left(\frac{1}{xy}-\frac{x}{y}\right)=\frac{x}{y}\left(\frac{1}{y}-y\right)\left(\frac{1}{x}-x\right)>0}$

et donc que le réel $t$ est strictement entre les deux réels $z$ et $\frac{1}{z}$

et comme $0<z<1$ on conclut _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Posté par re : domaine de R^2 21-04-24 à 20:52

salut

tout d'abord z et t sont strictement positifs ;

ensuite :

$tz = x^2 < 1 \Longrightarrow t < \dfrac 1 z$

$\dfrac z t = y^2 < 1 \Longrightarrow z < t$

me semble de bon aloi ...

Posté par re : domaine de R^2 22-04-24 à 01:15

Allez, une autre :
On travaille dans]0,1[ donc z = xy < x = ty < t.
Par symétrie des rôles joués par x et y on a donc aussi yx = z < s, où s = y/x, mais ce dernier réel est égal à 1/t.

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