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Niveau Maths sup
Domaine de validité de tan(5x)
Posté par DarkSidious
Bonjour, j'ai récemment eu des difficultés face à un exercice où l'on me demandait de calculer tan(5x) en fonction de tan(x) et de décrire son domaine de validité avec des cosinus.
Pour cela on nous fait faire un enchainement de question consistant d'abord à calculer tan(2x), puis tan(4x) et enfin tan(5x) à chaque fois en fonction de tan(x) et tout en décrivant son domaine de validité. Je trouve donc :
Pour tout x appartenant à R, si cos(x)*cos(2x)≠ 0 alors :
tan(2x)=(2tan(x))/(1-tan(x)^2)
Pour tout x appartenant à R, si cos(x)*cos(2x)cos(4x)≠ 0 alors :
tan(4x)=(2tan(2x))/(1-tan(2x)^2)
=(4tan(x)-4tan(x)^3)/(1-6tan(x)^2+tan(x)^4)
Pour tout x appartenant à R, si cos(x)*cos(2x)cos(4x)cos(5x)≠ 0 alors :
tan(5x)=(tan(x)+tan(4x))/(1-tan(x)tan(5x))
=(5tan(x)-10tan(x)^2+5tan(x)^4)/(1-6tan(x)^2+tan(x)^4)
Enfin vient la question me posant tant de soucis qui est de montrer que la dernière formule reste toujours valable pour pi/4 +k*pi/2 (k étant un réel relatif). J'ai donc déduis que l'on devait démontrer cos(x)*cos(2x)cos(4x)cos(5x)≠ 0 pour pi/4 +k*pi/2 cependant je tombe sur un os lorsque j'essaie de prouve que pour x=pi/4 +k*pi/2 cos(2x)≠ 0. Si quelqu'un pourrait m'indiquer une potentiel erreur où une chose que j'aurai oubliée cela pourrait m'aider à avance. Merci
Bonjour,
comment as-tu trouvé les conditions cos(x) cos(2x)≠ 0, cos(x) cos(2x)cos(4x)≠ 0 ?
ta formule de tan(5x) est fausse
Bonjour,
Effectivement, j'ai fait une erreur en recopiant :
tan(5x)=(tan(x)+tan(4x))/(1-tan(x)tan(5x))
=(5tan(x)-10tan(x)^[3]+5tan(x)^4)/(1-6tan(x)^2+tan(x)^4)
J'ai trouvé les conditions tout simplement en utilisant les relations liant tan(5x) à tan(4x) puis celle liant tan(4x) à tan(2x) et enfin celle liant tan(2x) à tan(x). Pour ce fait, je dois donc à chaque fois être sûr que les fonctions tan(x) soit bien définie (cos(x) ≠ 0) et que le dénominateur l'est aussi ce qui engendre cos(2x)≠ 0 puis cos(4x)≠ 0 puis cos(5x)≠ 0.
je ne vois pas pourquoi ce serait le produit des cos, je crois que si tu développes tes expressions des tan tu n'aboutiras pas à cela
ta formule de tan(5x) est toujours fausse
Rebonjour,
tan(5x)=(5tan(x)-10tan(x)^3+tan(x)^5)/(1-10tan(x)^2+5tan(x)^4)
On nous demande explicitement de déterminer l'ensemble de définition de tan(5x) en fonction de cosinus qui serait non nul d'où le fait que je m'attarde à définir les ensembles de définition en fonction de la non nullité de cosinus.
tan(5 x), ok
Citation :
On nous demande explicitement de déterminer l'ensemble de définition de tan(5x) en fonction de cosinus qui serait non nul d'où le fait que je m'attarde à définir les ensembles de définition en fonction de la non nullité de cosinus.
On nous demande explicitement de déterminer l'ensemble de définition de tan(5x) en fonction de cosinus qui serait non nul d'où le fait que je m'attarde à définir les ensembles de définition en fonction de la non nullité de cosinus.
tu ne réponds pas à ma question
Citation :
je ne vois pas pourquoi ce serait le produit des cos
je ne vois pas pourquoi ce serait le produit des cos
Bonsoir,
Je suis arrivé à supposer cos(x)cos(2x)cos(4x)cos(5x)≠ 0, car dans l'ordre :
tan(2x)=(2tan(x))/(1-tan(x)^2) donc pour que le dénominateur soit différent de 0 cos(2x)≠ 0 et pour que tan(x) le soit cos(x)≠ 0.
tan(4x)=(2tan(2x))/(1-tan(2x)^2) donc pour que le dénominateur soit différent de 0 cos(4x)≠ 0 et pour que la relation avec tan(2x) en fonction de tan(x) soit exploitable il faut que co(2x)cos(x)≠ 0.
enfin, puisque tan(5x)=(tan(x)+tan(4x))/(1-tan(x)tan(5x)) il faut que tan(5x) soit définie donc cos(5x)≠ 0 et pour exploiter la relation tan(4x) en fonction de tan(x) il me faut que cos(x)cos(2x)cos(4x)≠ 0.
Ce qui m'amène au final à ce que la formule soit que :
si cos(x)cos(2x)cos(4x)cos(5x)≠ 0 alors
tan(5x)=(5tan(x)-10tan(x)^3+tan(x)^5)/(1-10tan(x)^2+5tan(x)^4)
Bonsoir,
J'ai omis de le dire cependant dans l'expression du tan(5x) en fonction de tan(x), il est explicitement demandé d'établir la formule à l'aide de la non nullité de 4 cosinus...
On tombe en effet sur cos(5x) après nombre de développement laborieux. Cela à part je souhaite comprendre comment les conditions sur les expressions de tan(4x),tan(2x)... disparaissent alors que pour établir l'expression du tan(5x) on suppose que les conditions, nous permettant d'établir tan(4x) et tan(2x) en fonction de tan(x), sont remplies ?
Je ne suis pas censé utiliser la formule de Moivre pour résoudre cet exercice bien qu'elle nettement plus efficace.
remarque: tu n'es pas obligé d'utiliser les formules de Moivre
sin(4x)=2sin(2x) cos(2x) et cos(4x)=2 cos^2(2x)-1
tu peux calculer sin(4x) et cos(4x) séparément
et "t'arranger" pour n'avoir que du sin(x) dans sin(4x) et du cos(x) dans cos(4x)
ce qui me dérange un peu, sauf erreur de ma part,
1) c'est qu'on a pas l'air d'avoir le même ensemble de solutions en utilisant le produit des cos
2) si tu pars de la formule de tan(5x) et que tu transformes les tan en sin(x) sur cos(x) on ne trouve pas la même chose non plus
je serais curieux d'avoir la justification de ton prof
pour revenir à tes questions initiales,
cos(x)cos(2x)≠ 0 n'a pas le même ensemble de solutions que
cos(x)cos(2x)cos(4x)≠ 0 ni que cos(x)cos(2x)cos(4x)cos(5x)≠ 0