Bonjour à tous.
Lorsque l'on fait de l'analyse harmonique ou sous harmonique sur des domaines plus ou moins quelconques, il est toujours intéressant de connaître un peu la topologie de notre ensemble. En général on travaille sur des domaines, qui sont des ouverts connexes (et donc simplement connexes si on travaille dans C^n ou R^n).
La propriété essentielle que l'on aime bien avoir est celle de simple connexité, notamment dans le cas des domaines plans, et donc particulièrement dans le cas de C. L'intéret est que tout se passe très bien dans un tel domaine, car il n'y a que deux possibilités, soit notre domaine est le plan tout entier, soit c'est un domaine conforme au disque (et donc il ne suffit de travailler que sur le plan ou le disque).

Dans le cas des domaines multiplement connexes c'est largement plus compliqué. Si on se limite au cas d'une double connexité (ie un trou), on peut montrer que les domaines ne sont pas tous conformes, contrairement au cas précédent. En fait ce n'est pas très difficile de montrer que tous les domaines sont conformes à un anneau (ou couronne), c'est à dire à la différence symétrique de deux disques concentriques. On note en général A(r,R) l'anneau de grand cercle le cercle de rayon R et de centre 0, et de petit cercle, celui de rayon r.
En général, on prend R=1 (par dilatation on peut toujours s'y ramener, et dans ce cas, r est appelé le module de l'anneau.
Il n'est pas très difficile de montrer que deux anneaux sont conformes si et seulement s'ils ont le même module. Notamment on appelle module d'un domaine doublement connexe, le module de l'anneau auquel il est conforme.
Ce n'est pas très difficile donc, de trouver un équivalent au théorème de Riemann, mais c'est un peu plus difficile de prédire le module d'un domaine quelconque. Malgré tout il existe des moyens théoriques qui répondent bien à notre problème.

Dans le cas d'une connectivité de 3, ca devient largement plus difficile, et je ne connais aucun moyen théorique ni de livre qui parle de ce problème.
Je me demandais si certaines gens du forum pourraient me donner des références sur le sujet, ou s'ils y connaissaient quelque chose. A vrai dire, je sais qu'il nous faut l'équivalent de 3 modules pour ce problème, mais j'aimerai savoir s'il existe un moyen théorique de les déterminer. (Dans le cas k=2, le moyen est simplement de trouver le rayon des cercles de l'anneau).
Ici ce que l'on sait, c'est simplement que notre domaine est conforme à un anneau troué de manière rectiligne (on peut également demander à ce qu'il soit troué suivant un arc de cercle concentrique aux frontière)
J'imagine que dans ce cas ci, les 2 modules seront:
1-le rayon du petit cercle
2-une extrémité de la fente (ses coordonnées)
3-l'autre extrémité de la fente (ses coordonnées)
mais je n'ai pas vraiment que le bon sens, comme autre indication en ma faveur.

Et dans le cas d'une connectivité >3 je me pose la même question.

Cordialement,
Otto