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double inégalité inachevée

Posté par majid52 (invité) 20-07-05 à 01:54

Bonjour à tous voilà il s'agit du problème suivant:
a,b,c et d 4 réels strictement positifs tels que a+b+c+d=1 pourquoi a-t-on,
\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+d}}+\frac{d}{\sqrt{d+a}}>1 et est-ce la meilleure minoration possible?
d'autre part ce truc est bien majoré (par 4 par exemple)qu'elle est donc la plus petite constante réelle C telle que:
\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+d}}+\frac{d}{\sqrt{d+a}}\le C   est-elle atteinte et pour quelles valeurs de (a,b,c,d) ?
Voilà c'est l'énoncé (à quelques rectifications prés) d'un exercice que j'ai vu dans un autre forum il n'ya pas de mal à ça j'espére

Posté par
Nightmarere : double inégalité inachevée 20-07-05 à 02:35

Bonjour

Voici ce que je trouve à 2h30

a, b ,c et d sont strictements positifs et tels que \rm a+b+c+d=1
on a alors a fortiori :
3$\rm a+b<1 , b+c<1 , c+d<1 , d+a<1
ainsi :
3$\rm \frac{1}{\sqrt{a+b}}>1 , \frac{1}{\sqrt{b+c}}>1 , \frac{1}{\sqrt{c+d}}>1 , \frac{1}{\sqrt{d+a}}>1
soit
3$\rm \frac{a}{\sqrt{a+b}}>a , \frac{b}{\sqrt{b+c}}>b , \frac{c}{\sqrt{c+d}}>c , \frac{d}{\sqrt{d+a}}>d
En sommant :
3$\rm \frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+d}}+\frac{d}{\sqrt{d+a}}>a+b+c+d=1


Jord

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : double inégalité inachevée 20-07-05 à 04:52


Pour continuer, et montrer que 1 est la meilleure minoration, on peut "voir" que, avec a=1 et les autres=0 (ce qui est interdit par l'énoncé), la somme "se rapproche" de 1 (par passage à la limite).

Plus précisément, on veut montrer que :
pour tout epsilon>0, il existe (a,b,c,d) respectant les conditions de l'énoncé tel que :
somme avec les racines < 1+epsilon

Pour cela, on prend a=1-3*x et b=c=d=x avec x>0.

La somme avec les racines s'écrit :
2*(1-3*x)/sqrt(1-2*x) + 2*x/sqrt(2*x)
Ceci est inférieur à :
2*(1-2*x)/sqrt(1-2*x) + 2*x/sqrt(2*x)
qui est égal à :
2*sqrt(1-2*x)+sqrt(2*x)

On sait déjà que cette expression est >1
Or 2*sqrt(1-2*x)+sqrt(2*x) tend vers 1 quand x->0+.
Donc, pour tout epsilon>0, il existe un x tel que :
2*sqrt(1-2*eps)+sqrt(2*eps) < 1+epsilon
C'est-à-dire, il existe (a,b,c,d) tels que :
somme avec les racines < 1+epsilon

Donc 1 est la meilleure minoration possible.

J'espère ne pas avoir fait d'erreur.

Nicolas



Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : double inégalité inachevée 20-07-05 à 04:54


Oups. Vers la fin, remplacer :
2*sqrt(1-2*eps)+sqrt(2*eps) < 1+epsilon
par
2*sqrt(1-2*x)+sqrt(2*x) < 1+epsilon

Nicolas

Posté par
Redmanre : double inégalité inachevée 20-07-05 à 05:13

waow, la forme a 5h du mat'

Posté par majid52 (invité)re : double inégalité inachevée 20-07-05 à 05:15

Bonjour Nightmare,
Bravo,c'est trés clair et trés simple moi pour montrer ça j'ai du utiliser la convéxité et la décroissance de la fonction x\to \frac{1}{\sqrt{x}} sur ]0,+\infty[
je me rends compte qu'il n'est pas toujours simple de faire les choses simplement  
pour la question si c'est la meilleure minoration possible je vois d'abord d'aprés ce que vous avez fait que 1 n'est pas atteint car sinon on aurait:
(\frac{a}{\sqrt{a+b}}-a)+(\frac{b}{sqrt{b+c}}-b)+(\frac{c}{sqrt{c+d}}-c)+(\frac{d}{sqrt{d+a}}-d)=0 ce qui n'est pas possible vu que c'est une somme de quantités strictement positives.
j'ai pris alors pour n\ge 4, a=b=c=\frac{1}{n}  et d=1-\frac{3}{n} on a bien  a,b,c,d>0 et a+b+c+d=1 en calculant notre expression en fonction de n je trouve que:
\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{sqrt{b+c}}+\frac{c}{sqrt{c+d}}+\frac{d}{sqrt{d+a}}=\sqrt{\frac{2}{n}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}}  et avec \lim_{n\to+\infty}\sqrt{\frac{2}{n}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}}=1 on voit qu'effectivement c'est la meilleure minoration possible.
pour la borne supérieure C je n'ai rien trouvé jusqu'à ce moment,je doute que c'est \sqrt{2} mais ce n'est qu'un doute...
il est 3h00 du matin alors à demain

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : double inégalité inachevée 20-07-05 à 20:02

Salut tout le monde, majid52 je vois que le problème de la borne inférieure est réglé pour la borne supérieure je n'ai pas trouvé grand chose mais je vais tout de mm proposer un majorant
notons S(a,b,c,d)=\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+d}}+\frac{d}{\sqrt{d+a}} on a alors
S(a,b,c,d)+S(b,a,d,c)=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+d}+\sqrt{d+a}\le 2\sqrt{2} ( concavité de x\to\sqrt{x} sur [0,+\infty[ )
d'où S(a,b,c,d)\le 2\sqrt{2}-S(b,a,d,c) et comme 1 est un minorant non atteint on a que :
2$ S(a,b,c,d)<2\sqrt{2}-1
donc C\le 2\sqrt{2}-1\tilde~-1.828
remarque: j'ai vu ça sur un autre forum avec \frac{3}{2} comme majorant mais sans preuve.
je continue à chercher A[sup][/sup]+

Posté par
Nightmarere : double inégalité inachevée 20-07-05 à 20:06

Tu te réponds à toi même majid52/elhor_abdelali ?


Jord

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre: double inégalité inachevée 20-07-05 à 23:33

Il n'y a pas de mal à ça j'éspére

Posté par
Nightmarere : double inégalité inachevée 20-07-05 à 23:49

Non non du moment que tu restes dans les régles du forum

C'est pour toi que je dis ça, ça doit être dur de se parler à soi même


Jord

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : double inégalité inachevée 21-07-05 à 06:01


Bonjour,

"Intuitivement" (en cherchant un cas "symétrique" sachant que le minimum est atteint pour a proche de 1 et les autres proches de 0), et après pseudo-confirmation sous Excel, j'aurais tendance à penser que le maximum est atteint pour a=b=c=d=\frac{1}{4}, et que sa valeur est \sqrt{2}.

Nicolas


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