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Droite d'Euler
Bonjour à tous, alors voilà, j'ai un exercice a rendre, et je vois vraiment as comment m'y prendre, merci à ceux qui pourraient m'aider.
Voici l'énoncé:
Soient A, B et C trois points non alignés, on note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Dans un repère orthonormé direct (O ; i , j), on désigne par a, b et c les affixes respectives des points A, B et C.
1)Montrer que l'on peut écrire:
a = r exp(i
A),
b = r exp(iB) et
c = r exp(iC)
où r est un réel strictement positif et A, B et C sont des réels.
2)On désigne par H le point d'affixe h = a + b + c.
Donner la forme exponentielle du complexe z = (h-c)/(b-a).
Que peut-on déduire pour les droites (AB) et (CH) ?
3)Que représente le point H pour le triangle ABC ?
4)Déterminer l'affixe du point G isobarycentre des points A, B et C.
5)Montrer que les points O, G et H sont alignés.
Bonjour,
1) O est les cercle du centre circonscrit au triangle, que peut-on en déduire sur les longueurs OA, OB et OC ?
je ne sais pas, moi ça me parait être un bon début...
que représente le r dans l'écriture exponentielle ? conclusion ?
bonsoir
on peut écrire que a= xA+iyA où A(xA;yA)
or cos A = xA/OA et sin A=yA/OA
on en tire xAetyAque l'on remplace dans la formule de départ.on met OA en facteur et on sait que cosA+isinA=eiA si on pose OA=r on trouve bien cqfd
Bonjour, l'on m'a posé le même problème mais j'ai des difficultés pour répondre aux 3 dernières questions...
3) H représente surement un point remarquable, mais lequel et surtout comment le démontrer ?
4) En essayant avec diverses méthodes je suis bloqué. L'écriture exponentielle me dérange puisque je n'ai quasiment jamais travaillé avec celle si pour le moment...
5) Pour le moment il faut que je trouve l'affixe de G
Merci de l'aide que vous m'apporterez !
(De simples pistes m'aideront beaucoup plus que la réponse détaillée)
pour déterminer l'affixe de G isobarycentre de A,B,C écrire l'égalité correspondant :
+.......+........=
Sachant que affixe de = a-g (g affixe de G), transformer l'égalité précédente et conclure
Ok merci, j'ai réussi la question 4)
Pour la 3 je n'y arrive toujours pas.
Pour la 5, faut il utiliser une équation de droite ?
Merci de votre aide.
bonjour
H représente l'orthocentre du triangle c'est à dire l'intersection des 3 hauteurs
les droites (AB) et (CH) sont perpendiculaires
pour la 5, montre que les vecteurs OG et OH sont colinéaires
affixe de = (a+b+c)/3 et affixe de
=a+b+c
donc =1/3
Conclus
Merci infiniment !
Je crois que je vais réussir cet exercice. Ne me reste qu'a rédiger tout sa.
Merci encore pour votre aide !
Pardonnez moi mais un problème m'es paru de nouveau cette fois pour la question 2)
J'ai remarqué une erreur dans ma réponse; et maintenant je n'arrive plus a continuer je suis coincé dans les calculs.
Voici ce que j'avais fais au départ :
(h-c) (b+a) (re^iθB)+(re^iθA)
Z= ----- = ----- = ----------------- = (e^iθB+e^iθA)(e^-iθB+e^-iθA) = ... Développement écrit ...
(b-a) (b-a) (re^iθB)-(re^iθA)
[L'erreur apparait ici]
Z=2e^i(θA-θB)
Donc
CH --> -->
---- = 2 (AB;CH)=θA-θB [2
]
AB
---------------------------------------------------------------
Ce résultat étant faux, je dois recommencer à partir de la :
(h-c) (b+a) (re^iθB)+(re^iθA)
Z= ----- = ----- = -----------------
(b-a) (b-a) (re^iθB)-(re^iθA)
mais je n'y arrive pas, merci encore de m'aider =)
(S'il y a un signe qui ne s'affiche pas il s'agit de Theta θ )
Euh oui mais encore ?
Ce résultat ci n'est pas correct
CH --> -->
---- = 2 (AB;CH)=θA-θB [2]
AB
Et je n'arrive pas a aller plus loin que
(h-c) (b+a) (re^iθB)+(re^iθA)
Z= ----- = ----- = -----------------
(b-a) (b-a) (re^iθB)-(re^iθA)
bonjour
C'est un peu compliqué mais on y arrive
A partir de l'expression obtenue le 25 à 19h16, mets r eiB en facteur au numérateur et au dénominateur
tu obtiens 
en posant
=A-B:
z=(1+ei)/(1-ei)
=1/((1-ei) + ei)/(1-ei)
A ce stade transforme ei en cos+isinet après pour éliminer les i au dénominateur multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjugué du dénominateur.
beaucoup de calculs amènent à :
z=i (sin)/(1-cos)
d'où z = sin(A-B)/(1-cos(A-B) ei
on en conclus que arg z = /2 donc que AB orthogonal à CH (en vecteur) d'où (CH) hauteur
Merci beaucoup tortue !
J'ai également trouvé la solution grâce aux ... formules d'Euler et j'aimerais vous en faire part.
(re^iθB)+(re^iθA) (e^iθB)+(e^iθA)
Z= ------------------ = ------------------
(re^iθB)-(re^iθA) (e^iθB)-(e^iθA)
Pour simplifier : θ = (θB+θA)/2
eiθ * (eiθ + e-iθ ) 2 cosθ -i
Z= -------------------- = --------- = ------
eiθ * (eiθ + e-iθ ) 2i sinθ tanθ
En calculant le module et l'argument de Z
On trouve :
1
Z= ------ * e^-i(/2)
tanθ
-> ->
--> (AB;CH) = -/2
Donc AB et CH sont perpendiculaires !
Ohmondieu ! Tant de réflexion pour UNE question ! Merci a vous, tortue pour vous être lancé sur ce sujet pour m'aider =D
Je reviendrais bientôt, j'ai encore 1 voir 2 questions au sujet de l'exercice. A bientôt !
Correction d'une petite erreur :
eiθ * (eiθ + e-iθ ) 2 cosθ -i
Z= -------------------- = --------- = ------
eiθ * (eiθ - e-iθ ) 2i sinθ tanθ
C'est ce qui est intéressant dans les maths : se creuser la tête ! Et quelle satisfaction quand on trouve !!!!! n'es-tu pas de cet avis ?
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