Bonjour Martin

Dans la suite, tous les vecteurs apparaîtront en gras.

- Question 2 -
a)
Par définition :
OH = OA + OB + OC

Donc :

OA + AH = OA + OB + OC
AH = OB + OC
AH = OA' +A'B + OA' + A'C
AH = 2OA'
car :
A'B + A'C = 0 car A' est le milieu de [BC]


De même :
OB + BH = OA + OB + OC
BH = OA + OC
BH = OB' +B'A + OB' + B'C
BH = 2OB'
car :
B'A + B'C = 0 car B' est le milieu de [AC]

et

OC + CH = OA + OB + OC
CH = OA + OB
CH = OC' +C'A + OC' + C'B
CH = 2OC'
car :
C'A + C'B = 0 car C' est le milieu de [AB]



b)
O est le centre du cercle circonscrit, A', B' et C'
les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].
Donc :
- les droites (OA') et (BC) sont perpendiculaires,
- les droites (OB') et (AC) sont perpendiculaires,
- les droites (OC') et (AB) sont perpendiculaires.

On vient de montrer que :
AH = 2OA'
donc :
les vecteurs AH et OA' sont colinéaires,
les droites (AH) et (OA') sont donc parallèles.
Or, les droites (OA') et (BC) sont perpendiculaires,
donc les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
Le point H appartient à la hauteur issue de A du triangle ABC.

De même :
BH = 2OB'
donc :
les vecteurs BH et OB' sont colinéaires,
les droites (BH) et (OB') sont donc parallèles.
Or, les droites (OB') et (AC) sont perpendiculaires,
donc les droites (BH) et (AC) sont perpendiculaires.
Le point H appartient à la hauteur issue de B du triangle ABC.

et
CH = 2OC'
donc :
les vecteurs CH et OC' sont colinéaires,
les droites (CH) et (OC') sont donc parallèles.
Or, les droites (OC') et (AB) sont perpendiculaires,
donc les droites (CH) et (AB) sont perpendiculaires.
Le point H appartient à la hauteur issue de C du triangle ABC.

Conclusion : le point H appartient aux trois hauteurs du triangle ABC. Le point
H est l'orthocentre du triangle.


Voilà déjà le début, la suite arrivera prochainement

Et comme promis, voilà la suite

- Question 3 -
OH = OA + OB + OC
= OG+GA+OG+GB+OG+GC
= 3OG + GA + GB + GC

Montrons que :
GA + GB + GC = 0 :
GA + GB + GC
= 2/3(A'A + B'B + C'C)
= 2/3(A'B+BA+B'C+CB+C'A+AC)
= 2/3(A'B + B'C + C'A)
= 1/31/2(CB+AC+BA)
= 0

On a donc montré que :
OH = 3OG

Les vecteurs OH et OG sont donc colinéaires.
Or, ils ont un point en commun, O, G et H sont donc alignés.



- Question 4 -
Soient ABC un triangle,
A', B', C' les milieux respectifs des côtés [BC], [AC], [ AB],
H l'orthocentre du triangle ABC,
O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC,
G le centre de gravité du triangle ABC,
alors :
les points O,G et H sont alignés sur une droite que l'on appelle
droite d'Euler du triangle.


Voilà, bon courage ...

Un grand merci à toi Oceane , je file en cours!!! ( super bien expliqué)

bonjour a vous,
voila j'ai un exercice que je n'arrive pas a faire merci de m'aider

ABC est un tiangle et A',B', et C' les milieux des segments
BC , CA et AB

on considére le point H défini par:
vecteur OH = OB +OA +OC (vecteur)            (1)

1) justifier que vecteur OB+OC = 2 A' (vecteur)

2) Deduiser de la relation (1) que AH = 2 OA' (vecteur)

3) Démontrer alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaire

4) De la meme maniere démontrer que les droite (BH) et (AC) sont perpendiculaire

5) Que represente le point H pour le triangle ABC?

merci encore de m'aider et je voudrait en profiter pour vous dire
que c'est super de consacrer une partie de votre temps pour
nous aider (quand j'aurai terminer mes étude je ferai comme
vous, j'aiderai les autres qui sont en dificultés)
          

Bonjour,

Tu as déjà tous les éléments de réponse dans ce topic.

Bon courage.

merci mais j'ai pas trés bien compris l'exo et encore moin
les explication de l'exo

Alors, on peut rien faire pour toi hélàs

bonjour,
juste une question: comment on fait pour tracer le centre du cercle circonscrit,
pour un triangle quelconque?
merci d'avance     

Bonjour,
les trois médiatrices se coupent en un point appelé centre du cercle
circonscrit.

qu'es ce que les médiatrices?

bonjour,
comment faire pour justifier que vecteur OB + OC = 2OA'
n'oublier pas que ce sont des vecteur
et je n'arrive pas a repondre a ces deux questions:
déduiser en l'alignement de O, G, H lorsque le triangle ABC n'est
pas équilatéral
et
Que peut on dire des points O,G et H dans le cas ou ABC est un triangle
équilatéral?

merci d'avance pour votre aide

Une médiatrice d'un segment est une droite perpendiculaire à
ce segment passant par son milieu.

merci pouver vous m'aider pour la question que je vous est poser
précedement svp

Je pense que tu ne veux faire aucun effort là puisque j'ai déjà
traité cette question


OB + OC
= OA' +A'B + OA' + A'C
= 2OA'

Voilà pour cette question, mais je ne ferai pas de copier/coller pour
les autres, si tu ne veux pas faire un effort je ne vois pas pourquoi
j'en ferai pour toi !


Dans le cas où ABC est un triangle équilatéral, les points de concours
des médiatrices, médianes et hauteurs sont confondus :
les points O, G et H sont donc confondus.

merci beaucoup de votre aide

j'arrive pas a répondre a cette question : en partant de l'egalite GA= -2GA ; démontrer que 3OG = OA + 2OA

bonjour à tous, on ne peut pas résoudre cela autrement??

Vous nous avez donner la solution en calcul vectoriels , pouvez-vous nous la donnez avec l'utilisation d'une configuration ?

Les trois hauteurs (AP) , (BQ) , (CR) se coupent en H, orthocentre du Trgl.
Le centre de gravité de G du tgl est situé " aux deux tiers" de la médiane [AA'].
D est le point diametralement opposé à A sur le cercle circonscrit C .

1).
Demontrer que BHCD est un parallelogramme.

2).
En déduire le centre de gravité du tgl AHD.

3).
Montrer alors l'alignement des points O,H,G.

Je suis désolé mais , ayant fait la première partie identique que celle que vous avez demontrer sans trop de difficultées , celle-cî me bloque vraiment (O_o).

Je vous remerci d'avance

oceane si tu es encore la tu peux regarder mon topic plus haut.
merci beaucoup

je ne comprends pas le calcul d'océane dans la question 3. si quelqu'un pouvez m'expliquer svp

sv p aidez moi je comprends ma comment oceane passe de = 2/3(A'B+BA+B'C+CB+C'A+AC)
= 2/3(A'B + B'C + C'A)
= 1/31/2(CB+AC+BA)
voila je comprends pas peut etre une simplification m'a échappé

salut
praceque
BA+CB+AC=BA+AC+CB=BB=0     relt de chasles

ok merci je comprends un peu mieux mais comment passe-t-elle de
= 2/3(A'B + B'C + C'A)
= 1/3x1/2(CB+AC+BA)
parce que 1/3x1/2=1/6 non ce qui n'est pas pareil que 2/3
et le 2/3 il vient d'ou?
merci de votre aide car je suis un peu paumé sur ce dm

Bonsoir,
Voilà j'ai un DM a faire, j'ai réussi à prouver que O G et H étaient alignés seulement je ne sais pas comment montrer que celà reste vrai quand on est dans un triangle rectangle? Quelqu'un peut m'aider?? S'il bous plaiiit !

merci d'avance

g un dm afaire et je n'arrive a le faire abc est un triangle non equilateral inscrit ds un cercle de centre o .I ET J designent les milieux des segments AB et AC
ssoit H le point defini par OH =OA+OB+OC
demontrer que ob+oc=2oi et en deduire que AH=2OI

Bonjour, alors moi j'aimerais bcp avoir de l'aide car j'arrive a faire certaine choses dans mon DM mais j'arrive pas à les prouver aidez-moi svp !

ABC est un triangle non équilatéral inscrit dans un cercle de centre O
I et J désignent les milieux respéctifs des segments [BC] et [AC]
G est le centre de gravité du trinagle ABC.
Soit H le point défini par OH=OA+OB+OC

1)faire dessin (je l'ai fait)
2)a) Démontrer que OB+OC=2OI et en déduire que AH=2OI
b)En déduire que (AH) est une hauteur du triangle ABC.
c)De mm, établir que (BH) esyt une hauteur du triangle ABC

3)Soit G le point défini par GA+GB+GC=O
a)Démontrer que GB+GC=2GI
b)En déduire que AG=2/3AI.Que peut-on en déduire concernant les points A,G,I ?
c)Demm démontrer queBG=3/3BJ.Que peut-on en déduire concernant les points B,G,J ?
d) Que représente le point G pour le triangle ABC ?

4)a)Démontrer que, pour tout point M du plan :MA+MB+MC=3MG
b)En déduire que OH=3OG
c)Que peut-on en déduire pour la position relative du centre de gravité, du centre du cercle circonscrit et de l'orthocentre d'un triangle non équilatéral ?

Voila sa serez super sympa de m'aidé jen ai fé quelques une sans vraimenbt les finir donc si quelqu'un pouvez me répondre vite !!!!

SVP, SVP, SVP, SVP !!!!

Merci d'avance à celui ou celle qui prendra de son tps pour me répondre c'est super sympa !

Bonjour tout le monde, moi ossi je galère sur un dm de math a rendre pour lundi donc si vs pouviez maider pour dimanche vers les 18 h. J e suis interne.
Sujet: ( en gras se sont des vecteurs)

        Soit ABC un triangle non aplati, A', B'et C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB] et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Soit H le piont défini par :
                 OH = OA+AB+OC.

1. Déteminer le piont H
a) Montrer successivement que :
   AH = 2OA',  BH = 2OB' ,   CH = 2OC'. ( déja fais merci océane)
b) Placer le piont H sur la figure. (déja fait)
c) Montrer successivement que :
   (AH)pependiculaire(BC), (BH)perpendiculaire(AC), (CH)perpendiculaire(AB).
d) Que peut-on en déduire pour le point H ?

2. Soit G le point définis par:
              GA+GB+GC=0
a) Montrer successivement que:
    AG = 2/3AA',  BG = 2/3BB',  CG = 2/3CC'.
b) Placer le point G sur la figure.
c) Montrer que, pour tout point M dans le plan :
       MA+MB+MC = 3MG.
d) En déduire que OH = 3OG.
e) Que peut-on en déduire de la question précédente?

merci de me répondre le plus vite possible (avant dimanche a 18h30 si C possible)

Bonjour ^^ j'ai besoin d'aide sur le meme exercice que TiTh0d , c'est rigolo quand on y pense on est surement dans la meme classe mais on en se reconnait pas avec nos pseudos ^^ donc je disais , j'aimerais de l'aide pour le dm posté par TiTh0d car c'est exactement le m^me que le mien et il est aussi a  rendre demain !! merci de me repondre amicalement PLoume ^^

Les trois hauteurs (AP) , (BQ) , (CR) se coupent en H, orthocentre du Trgl.
Le centre de gravité de G du tgl est situé " aux deux tiers" de la médiane [AA'].
D est le point diametralement opposé à A sur le cercle circonscrit C .

1).
Demontrer que BHCD est un parallelogramme.

2).
En déduire le centre de gravité du tgl AHD.

3).
Montrer alors l'alignement des points O,H,G.

Montrons que :
GA + GB + GC = 0 :
GA + GB + GC
= 2/3(A'A + B'B + C'C)
= 2/3(A'B+BA+B'C+CB+C'A+AC)
= 2/3(A'B + B'C + C'A)
= 2/3(A'B + B'C + C'A)
=  0

tu a dis ca océane mais je n'ais pas saisit comment passer de = 2/3(A'B + B'C + C'A) a = 1/3x1/2(CB+AC+BA) puis a  : =  0


merci

svp c'est assez urgent je veut comprendre et pas me contenter de copier betement donc Océane ou autre pourrait m'expliquer svp ?

Bjr j'ai une question dans mon dm que je n'arrive pas à faire c'est comme la question 1 C/ de TiTh0d donc de prouver que MA+MB+MC=3MG en utilisant la relation CA+GB+GC= O  si vous pouviez m'aider sa serait vraiment très gentil ^^ merci d'avance

Bonjour tout le monde, moi ossi je galère sur un dm de math a rendre pour lundi donc si vs pouviez maider pour dimanche vers les 18 h. J e suis interne.
Sujet: ( en gras se sont des vecteurs)

        Soit ABC un triangle non aplati, A', B'et C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB] et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Soit H le piont défini par :
                 OH = OA+AB+OC.

1. Déteminer le piont H
a) Montrer successivement que :
   AH = 2OA',  BH = 2OB' ,   CH = 2OC'. ( déja fais merci océane)
b) Placer le piont H sur la figure. (déja fait)
c) Montrer successivement que :
   (AH)pependiculaire(BC), (BH)perpendiculaire(AC), (CH)perpendiculaire(AB).
d) Que peut-on en déduire pour le point H ?

2. Soit G le point définis par:
              GA+GB+GC=0
a) Montrer successivement que:
    AG = 2/3AA',  BG = 2/3BB',  CG = 2/3CC'.
b) Placer le point G sur la figure.
c) Montrer que, pour tout point M dans le plan :
       MA+MB+MC = 3MG.
d) En déduire que OH = 3OG.
e) Que peut-on en déduire de la question précédente?

J'aimerais avoir des réponses pour le GRAND 1 petit d et le GRAND 2 petit a,b,c et d.
Merci de m'aider.
JE trouve ça super que des gens prennent du temps pour aider. Merciii

slt je m'interesse au cas particulier de la droite d'euler parrallèle a un des cotés du triangle et les proprietes qui en découleraient
ce serait tres gentil de votre part si vs pouviez m'aider
merci

voila bonjour g un dm de maths et g un gro probleme pouvez vous maidez ??
voila le sujet ( les lettres sont des vecteurs ) :
Soit G le point défini par : GA + GB + GC = 0
Montrer successivement ke AG= 2/3AA', BG= 2/3BB', CG= 2/3CC'
voila !! jepense ke c le meme sujet envoyé par d'autres personnes et kil doit y avoir deja une réponse mais je voudrai avoir une réponse clair,nette et précise SVP SVP SVP !!!! vouila merci d'avance a la personne ki prendra un peu de son temps pour m'aider merci beaucoup

bonjour !!!
comment prouver que GA=2/3AA' si on ne sait pas que G est le centre de gravité du triangle (justement, on doit le prouver !!)
merci d'avance...

Eh laurenc , as tu compris comment fonctionne ce forum ?

Que vient faire aussi ta question dans ce sujet   Vecteurs et centre de gravité ?

--(Début du D.M de larasmotte, qui correspond au mien)--

ABC est un triangle non équilatéral inscrit dans un cercle de centre O.
I et J désignent les milieux respéctifs des segments [BC] et [AC].
G est le centre de gravité du trinagle ABC.
Soit H le point défini par OH=OA+OB+OC.

1) faire dessin.

2) a) Démontrer que OB+OC=2OI et en déduire que AH=2OI.
b) En déduire que (AH) est une hauteur du triangle ABC.
c) De même, établir que (BH) est une hauteur du triangle ABC.

*Alalala les devoirs de vacance...*    --'  

-(Vecteurs en gras)-

--Question 2°)--

a°) "OB+OC=2OI ?"

OB+OC = OI+IB+OI+IC.
           = 2OI+IB+IC.
           = 2OI + (IB+IC=O). <--I milieu de [BC].
           = 2OI.
  
"AH=2OI?"

OH=OA+OB+OC.  
OA+AH=OA+OB+OC.
AH=OB+OC.
AH=OI+IB+OI+IC.
AH=2OI.

b°)

AH=2OI.
Les vecteurs AH et OI sont colinéaires,
les droites (AH) et (OI) sont donc parallèles.
Or, les droites (OI) et (BC) sont perpendiculaires,
donc les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

(AH),issue de A, est donc la hauteur du côté [BC] du triangle ABC.


----c°) De même, établir que (BH) est une hauteur du triangle ABC.----

...

J'en suis à là pour la première partie de cet exercice.
Mais j'ai fait la suite et j'ai encore d'autre choses à finir dans le D.M qui n'est pas pareil que tout le monde..>.<
Je reste pas bloqué à chaque questions..


Coco_75

j ai presque le meme DNS mais j ai la question "donner une caracterisation vectorielle de l'orthocentre d'un triangle" pouvez vous m'aider svp