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Niveau seconde
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droite vecteur

Posté par
sinseya
06-10-20 à 11:24

bonjour,
je me creuse la tête depuis plusieurs jours sur la fine de l'exercice, voici l'énoncé:

3°) Peut-on déterminer m pour que :
a) (Dm) admette \vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j} comme vecteur directeur ;
sachant que la droite (Dm) a pour équation : (m + 1) x - 2 (m + 2) y + 5 = 0

j'ai donc commencé par essayé d'isoler m, ça ne marche pas
j'ai ensuite pensé à faire a = (m + 1) x; b= - 2 (m + 2) y et c=5 pour en déduire le vecteur v (2 (m + 2) y; (m + 1) x)
pour ensuite essayer de trouver une équation avec le point I dont elle passe soit
(Dm) passant par I (5; \frac{5}{2}) donc \vec{v} (3 ; 2)

et maintenant je suis toujours bloqué, j'arrive pas a aller plus loin, est-ce qu'on peut me donner une piste? merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 06-10-20 à 11:33

Bonjour,

Citation :
pour en déduire un vecteur u (2 (m + 2) y; (m + 1) x)

et il n'y a pas de x ni de y dans un vecteur directeur !

ensuite il faudra écrire que ce vecteur directeur u là est colinéaire à v donné (pas forcément égal, c'est pour ça que je l'appelle u et pas v)

condition de colinéarité ?

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 06-10-20 à 11:55

il faut que je passe par la colinéarité de 2 vecteurs égaux pour trouver m?
j'ai du mal à comprendre

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 06-10-20 à 12:36

il y a une infinité de vecteurs directeurs pour une droite donnée
il sont tous colinéaires entre eux.
tous les vecteurs colinéaires à \vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j}

\vec{u}  \; (2(m+2); m+1) est un  vecteur directeur de la droite Dm
ainsi que tous ceux qui sont colinéaires à ce vecteur là , tous les vecteurs k*\vec{u} \; \; \forall k\in \R^* (\R privé de 0)

on veut donc que \vec{u} et \vec{v} soient colinéaires pour que la droite Dm admette \vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j} comme [un de ses] vecteur(s) directeur(s)

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 06-10-20 à 13:03

ok donc je me corrige pour voir si j'ai bien compris, donc

(Dm) : (m + 1) x - 2 (m + 2) y + 5 = 0
et toutes droites (Dm) passe par le point I (5;\frac{5}{2}), donc \vec{v\: '}\: (3;\: 2)
( je ne sais pas si faut que je tienne compte de ce point I)
donc  a = (m + 1) x; b= - 2 (m + 2) y et c=5, soit \vec{u}\: (2(m+2);\: m+1)
soit \vec{u}\: (2m+4;\: m+1) est un vecteur directeur de la droite (Dm) (je ne sais pas s'il faut réduire)

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 06-10-20 à 13:07

et aussi je ne comprends pas votre symbole qui se trouve après  "k fois vecteur u"

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 06-10-20 à 13:22

le point I pourrait être utile si la question était "trouver une équation d'une droite Dm qui .. "
et pas "peut on trouver m tel que .."
passer par ce détour là (trouver d'abord une équation de la droite pour en déduire m ensuite) est un détour plus long, car une droite a une infinité d'équations équivalentes et l'équation obtenue n'a aucune raison d'être par miracle directement sous la forme (m + 1) x - 2 (m + 2) y + 5 = 0

pourquoi \vec{v'} ?
c'est \vec{v} donné lui même qui a pour coordonnées (3; 2)

a = m+1 sans aucun x et pareil pour b.
ax + ...
(m+1)x + ...
a c'est m+1 tout court

et maintenant écrire que u et v sont colinéaires donnera une équation en l'inconnue m, donc la réponse à la question posée :
peut on trouver m (et bien sûr si oui, sa ou ses valeurs)

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 06-10-20 à 13:25

\forall veut dire quel que soit , pour toutes les valeurs de

\forall k \in \R^*
se traduit par : "quel que soit le réel k non nul"

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 06-10-20 à 13:35

c'est ce que j'essayais de faire justement, de trouver une équation sous la forme de ax+by+c = 0 mais je n'y arrive pas, donc à part reprendre une de mes droites trouvées précédemment, je vois comment je peux faire...

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 06-10-20 à 13:46

comme j'ai dit :

écrire que les vecteurs \vec{v} \; (3; 2) et \vec{u} \; (2m+4; m+1) sont colinéaires (donc sont tous deux des vecteurs directeurs d'une même droite)
donnera une équation en l'inconnue m, donc la réponse à la question posée.

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 06-10-20 à 18:16

ok donc j'ai fais ça

\vec{u}=\vec{v}donc
2m+4=3
m+1=2
ce qui donne -\frac{1}{2 } \: et\: 1
m a pour solution le couple ( -\frac{1}{2 } \: ;\: 1) pour admettre
\vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j}
est-ce que c'est ça?

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 06-10-20 à 19:42

non.

deux vecteurs colinéaires, ça ne veut pas dire égaux !!
ça veut dire qu'il existe un certain réel k tel que \vec{u} = {\red k}\,\vec{v}

2m+4 = 3k
m+1 = 2k

et résoudre ce système pour obtenir la valeur de m
(la droite Dm)


ou utiliser la règle vue éventuellement en cours :
deux vecteurs (x; y) et (x'; y') sont colinéaires si ...
(réponse à ma question initiale : condition de colinéarité [de deux vecteurs] ?)

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 06-10-20 à 20:58

alors j'ai fais 2 choses et en plus j'ai fais une bourde dans l'énoncé du vecteur v, c'est -3, pardon
donc j'ai fais ceci:
2m+4=k-3
m+1=k2
j'ai utilisé la combinaison linéaire en multipliant les k entre eux pour les éliminer, je ne sais pas si on a le droit ce qui donne m = -\frac{5}{7}
et ensuite j'ai fais ceci:
dét \begin{vmatrix}2m+4\;\; &-3 \\ m+1 &\; 2 \end{vmatrix}
ce qui me donne m+5 \neq0 soit m=-5...

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 06-10-20 à 21:26

attention, à la façon d'écrire :
"k-3" veut dire k moins trois et pas k multiplié par -3 qui s'écrit tout simplement -3k

"en multipliant les k entre eux" ???

pour "éliminer" k dans ce système

\left\{\begin{array}l 2m+4=-3k
 \\ m+1=2k\end{array}\right.

on fait une combinaison linéaire, en additionnant membre à membre
- la première multiplié par 2 : 2(2m+4) = -3*2
- la seconde multiplié par 3 : 3(m+1) = 2*3
c'est à dire :

2(2m+4) + 3(m+1) = -3*2 + 2*3
à simplifier etc

ou bien (inutile de faire les deux méthodes !)
on annule le déterminant

\begin{vmatrix}2m+4\;\; &-3 \\ m+1 &\; 2 \end{vmatrix}

c'est à dire la condition de colinéarité de deux vecteurs que je demandais au début
deux vecteurs (x; y) et (x'; y') sont colinéaires si
\begin{vmatrix}x\;\; &y \\ x' &y' \end{vmatrix}=0
alias xy' - x'y = 0

ce qui ne fait pas ce que tu dis après développement correct, mais donne bien entendu la même relation et la même valeur de m que avec l'autre méthode.

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 04:07

bonjour,
alors en reprenant votre combinaison je trouve m=\frac{9}{7}
une question, pourquoi ne pas multiplier la seconde ligne par -3 comme je l'avais fais?

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 04:24

j'ai refais mon calcul et je retrouve mon -5 , bonne nuit ou bonne fin de nuit

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 07-10-20 à 10:56

pourquoi ne pas multiplier la seconde ligne par -3 comme je l'avais fais?

si tu veux mais alors il va falloir retrancher membre à membre les deux lignes

parce que en ajoutant -3 *2 et (-3)* 2 on obtient -12 et pas 0
c'est -3*2 moins 2*(-3) qui fait 0

ce qui augmente le risque d'erreurs de signes et paf tu tombes dedans

ton résultat est faux.
montre le détail ligne à ligne de tes calculs.


ou d'ailleurs pareil avec le calcul de ton déterminant

c'est

\begin{vmatrix}a &b \\ c &d \end{vmatrix}=ad \; {\red moins} \; bc
et moins -3 ça fait + 3

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 13:22

bonjour
donc ligne 1 x2 donne
4m+8=-6k
ligne 2 x3 donne
3m+3=6k
combinaison linéaire
4m-3m+8-3=-6k+6k
m+5=0
m=-5
j'aurais fais une erreur dans ma combinaison?

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 07-10-20 à 13:34

donc ligne 1 x2 donne
4m+8=-6k
ligne 2 x3 donne
3m+3=6k

ok jusque là

ensuite

4m-3m+8-3 là tu retranches les premiers membres
= -6k+6k et tu ajoutes les seconds membres

ça ne va pas du tout !
tu dois faire la même chose des deux cotés
et pour que ça élimine les k, tu dois ajouter membre à membre

4m+8=-6k
3m+3=6k
--------------
(4m+8) + (3m+3) = (-6k) + (6k)

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 13:40

j'ai appris ma combinaison par soustraction et non par addition, ça me fait bizarre, donc je trouve m=-11/7

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 07-10-20 à 14:02

par soustraction c'est quand tu as la même chose pour les k

ligne 1 x2 donne
4m+8=-6k
ligne 2 x(−3) donne
3m3=6k

et par soustraction membre à membre :
(4m+8) - (-3m-3) = (-6k) - (-6k)

ça donne bien entendu la même chose.
mais avec tous ces signes moins, le risque d'erreur est bien plus grand comme je le disais.

au lieu d'apprendre par coeur des règles de cuisine, il faudrait comprendre ce que l'on fait vraiment et dans quel but.

m = -11/7 est OK.

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 14:11

mon souci c'est que dans mes cours il y a des  choses que je n'ai pas vu et il faut souvent que je joue au devinette et c'est pas simple.
là, je viens d'apprendre grâce à vous une autre méthode pour utiliser la combinaison linéaire.
je l'ai seulement vu sur l'emploi du x pour multiplier et pas sur 2k comme on a fait et uniquement en soustraction, donc pour moi c'est difficile de savoir que je peux employer cette méthode comme on l'a fait. en tout cas merci pour votre aide

je suis en train de me creuser la tête pour les deux derniers points de l'exercice, et ça va être très certainement un truc tout bête comme ici que je n'aurais pas encore employé.

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 07-10-20 à 14:25

le problème est surtout de comprendre ce que fait la "recette"
la base est toujours et quasiment uniquement :
dans une égalité on fait toujours la même chose des deux côtés.
pas des choses différentes (ajouter d'un côté et retrancher de l'autre)


pour la suite de l'exo, poursuivre ici au besoin
pas dans une autre discussion

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 14:41

oui pas de souci, d'ailleurs je peux au moins vous mettre l'énoncé et ou je suis rendu

Peut-on déterminer m pour que :
b) (Dm) ait comme coefficient directeur 1/2 ;
donc j'ai écris ceci:
La droite (Dm) : (m + 1) x - 2 (m + 2) y + 5 = 0 aurait pour coefficient directeur 1/2, donc la droite (Dm) se traduirais par y=1/2 x+b. Egalement, on sait que toutes droites (Dm) passe par le point I ( 5; 5/2  ) donc
y_{I}=\frac{1}2{x_{I}}+b    soit    \frac{5}{2}=(\frac{1}{2})5+b...
b=0 donc y=1/2x
je ne sais pas si c'est utile de le détaillé ainsi
et là j'essaye de voir si je dois passé par le vecteur directeur... et ça se troue, tout est faux

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 07-10-20 à 15:16

comme pour la précédente
on ne te demande pas une équation de la droite mais la valeur de m et surtout peut on déterminer ...

(peut être bien qu'il n'y a aucune droite Dm qui a ce coefficient directeur là)

quel est le coefficient directeur en général de la droite (m + 1) x - 2 (m + 2) y + 5 = 0 ?
écrire que c'est égal à 1/2 etc

passer comme tu le fais par la recherche de la droite passant par I est un détour inutilement long et qui occulte le vrai problème :
encore faut il que cette droite là fasse partie des droites Dm !
c'est à dire
x - 2y = 0 (la droite trouvée)
représente la même droite qu'une certaine droite Dm ,

on a prouvé que toutes les droites Dm passent par I, ça ne veut pas dire que toutes les droites qui passent par I sont des droites de cette famille là !

c'est à dire pour quelles valeurs de k et de m
k(x-2y) = k*0 = 0
soit la même chose que (m + 1) x - 2 (m + 2) y + 5 = 0

et comme pour la question d'avant, l'apparition de ce "k" de proportionnalité complique tout.
(au plus direct, la question d'avant c'était le calcul -correct- du déterminant et c'était terminé en deux lignes)

ici c'est avec les coefficients directeurs, c'est du même genre, on ne demande pas l'équation de la droite , on demande de trouver la valeur de m si elle existe.

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 16:52

c'est bien ce que je pensais, je passe des heures a essayer de comprendre sur des non vues
, bref donc en repartant sur votre raisonnement, j'ai écris ceci;
(Dm) : (m + 1) x - 2 (m + 2) y + 5 = 0 est une équation de la forme ax+by+c=0
donc a=(m+1), ce qui laisse supposer que (m+1)=1/2, ce qui est impossible,
j'ai essayé également de réduire l'équation initiale, ce qui est impossible aussi, soit j'ai encore rien compris, soit il n'y pas de solution, m ne peut être déterminé avec pour coefficient 1/2.

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 07-10-20 à 17:05

non

dans une équation de droite Dm écrite ax+by + c = 0
a = m+1 certes mais b = -2(m+2)
et m+1 n'est pas le coefficient directeur :
et donc le coefficient directeur est : ???

tu ne peux pas croire que entre y = ax + b (équation réduite)
et ax + by + c = 0 (équation cartésienne)
on prétendrait que ces deux "a" représentent la même chose !
dans une équation de droite écrite ax + by + c = 0, "a" n'est pas le coefficient directeur
quel est il ce coefficient directeur ? (formule générale de cours)

et de plus ton raisonnement est encore plus faux quand tu prétends que (m+1)=1/2 est impossible,
(m = -1/2 et -1/2 + 1 est bien égal à 1/2 !!)

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 17:53

voilà ce que j'ai dans mon cours:
y=mx+p, le réel m s'appelle le coefficient directeur, sauf que c'est une équation réduite, ce qui n'est pas le cas de la droite (Dm), je n'ai pas plus d'explication sur l'équation cartésienne a part me faire différencié le a=; b=; et c=, avec l'axe des abscisses et des ordonnées et admettre un vecteur directeur soit ici
vecteur u ( 2(m+2); (m+1)),  qui a mon avis ne m'est d'aucune utilité pour ici.
voilà, donc j'espère que vous comprenez mieux que moi ce qui est certain car là, je suis bloqué, je ne comprends plus rien. donc en réponse a votre question, je dirais au pif car je n'ai pas de définition ni autre exemple pour déterminer le coef d'une droite cartésienne, ça serait -2(m+2)=1/2

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 07-10-20 à 18:02

ax + by + c = 0 s'écrit by = -ax - c
c'est à dire si b ≠ 0
y = -a/b x - c/b
et en identifiant à y = mx + p
m = le coefficient directeur est -a/b

c'est à dire ici ...

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 18:15

m=-(m+1)/-2m+2)ce qui serait égal à 1/2
honnêtement je n'ai pas vu d'exemple sur ça et encore moins sur by = -ax - c, je ne sais pas comment je vais écrire pour justifier ce calcul

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 07-10-20 à 18:37

il n'y a pas besoin de "voir" spécifiquement en cours que à partir de ax+by+c = 0 on obtient by = -ax - c, puis y = -a/b x - c/b
ces manipulations algébriques générales sur des égalités quelles qu'elles soient sont vues en collège (en 4ème même il me semble), sur la façon, de "faire passer" des choses d'un côté à l'autre d'un signe égal.
ce que l'on "fait passer" et pourquoi est spécifique à chaque calcul que l'on veut faire et il est illusoire d'imaginer que chaque calcul (en nombre infini !!) serait vu en cours !


tu ne peux pas écrire un même m avec deux significations différentes

m=-(m+1)/-2m+2)
le premier "m" représente un coefficient directeur d'une formule de cours
les autres sont le m de l'énoncé

correct est

coefficient directeur (écrit comme ça) = -(m+1)/(-2(m+2))

attention au parenthèses !

\dfrac{-(m+1)}{-2(m+2)} nécessite plus de parenthèses que tu n'en avais écrites, (en plus de toute façon il doit y en avoir autant de fermantes que d'ouvrantes)

et maintenant on cherche donc m tel que

\dfrac{-(m+1)}{-2(m+2)} = \dfrac{1}{2}
équation à résoudre ...

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 18:51

elle est impossible à résoudre ou c'est moi qui a trop le cerveau en bouilli...

Posté par
mathafou Moderateur
re : droite vecteur 07-10-20 à 19:03

cela donne m+1= m+2 et effectivement cette équation n'a pas de solution
et la réponse à la question posée est bien :
il n'existe aucune valeur de m telle que Dm ait pour coefficient directeur 1/2

Posté par
sinseya
re : droite vecteur 07-10-20 à 19:13

ouf, ça me rassure, je croyais ne plus savoir résoudre, merci de votre patience et de vos explications



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