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[DS] Les suites

Posté par
infophile 03-12-07 à 16:13

Bonjour

J'ai eu un DS ce matin : 3 exos et un problème. Les exos étaient sympas mais le problème je me suis cassé les dents dessus

En attendant qu'on le scanne (il est plutôt long) je mets les exos pour ceux qui veulent s'exercer sur les suites :

Citation :
Exercice 1

Etudier la suite 3$ \rm (U_{n})_{n\in \mathbb{N}} définie par son premier terme 3$ \rm U_0 et la relation, pour 3$ \rm n élément de 3$ \rm \mathbb{N} :

3$ \rm U_{n+1}=\frac{3}{1+2U_n^2}

On pourra utiliser que 3$ \rm -4x^5+12x^4-4x^3+12x^2-19x+3=-(x-1)(2x^2+2x+3)(2x^2-6x+1)


Citation :
Exercice 2

Soit 3$ \rm x un réel non nul. On considère la suite 3$ \rm (y_k)_{0\le k\le n} définie par :

3$ \rm y_0=0, y_1=\frac{x}{n} et la relation 3$ \rm y_{k+2}-2y_{k+1}+\(1-\frac{x^2}{n^2}\)y_k=0

Calculer la limite de 3$ \rm y_n lorsque 3$ \rm n tend vers plus l'infini. Qu'en pensez-vous ?


Citation :
Exercice 3

Montrer que pour 3$ \rm n entier naturel non nul assez grand, l'équation d'inconnue le réel 3$ \rm x :

3$ \rm (x-n)\ln(n)=x\ln(x-n) admet une solution notée 3$ \rm x_n dans 3$ \rm [n+1,n+2]

Puis montrer que la suite 3$ \rm (x_n-n) tend vers 1 quand 3$ \rm n tend vers plus l'infini.

Et enfin que, au voisinage de l'infini 3$ \rm x_n-n-1\sim \frac{\ln(n)}{n}


Voilà l'entrée avant le plat de résistance

Posté par
1 Schumi 1re : [DS] Les suites 05-12-07 à 14:07

Salut,

Ya pas un bug dans l'énoncé du 2)? :S
C'est pas une suite que t'as; c'est une suite de suite...
Ou alors, j'ai vraiment rien capté à l'énoncé.

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 05-12-07 à 18:19

Salut

Nan y'a pas de bug.

Je sors de DS de physique, ma calculette m'a laché quand il ne fallait pas

Posté par
1 Schumi 1re : [DS] Les suites 05-12-07 à 18:33

Ok, je vais essayer de voir ça ce week-end.
Moi je sors de DS de math (sur le suites et les arcs. Berk les arcs...) .


Mes condoléances pour ta calculatrice et ta note.

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 05-12-07 à 18:41

Les suites moi c'était lundi

Et oué les arcs c'est chiant

Merci de compatir lol

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : [DS] Les suites. 07-12-07 à 14:00

Bonjour ;

une idée pour l'exercice \fbox{2} :

On se place dans \mathbb{R}^n (euclidien canonique) et on désigne par \left(e_1,..,e_n\right) sa base canonique.
On note I , J et A les matrices de M_n\left(\mathbb{R}\right) définies par :

\fbox{I=\(\begin{tabular}{ccccc}&1&0&.&.&.&0&\\&0&1&0&.&.&0& \\&0&0&1&0&.&0&\\&.&.&.&.&.&.&\\&.&.&.&.&.&.&\\&.&.&.&.&.&.&\\&.&.&.&.&.&.&\\&0&.&.&.&0&1&\\\end{tabular}\)} , \fbox{J=\(\begin{tabular}{ccccc}&0&0&.&.&.&0&\\&1&0&0&.&.&0& \\&0&1&0&0&.&0&\\&.&.&.&.&.&.&\\&.&.&.&.&.&.&\\&.&.&.&.&.&.&\\&.&.&.&.&.&.&\\&0&.&.&.&1&0&\\\end{tabular}\)} et \fbox{A=I-2J+(1-\frac{x^2}{n^2})J^2}.
Il est alors facile de voir que la suite (y_k)_{0\le k\le n} satisfait au système linéaire \red\fbox{A\(\begin{tabular}y_1\\y_2\\.\\.\\y_n\\\end{tabular}\)=\frac{x}{n}\(\begin{tabular}1\\0\\.\\.\\0\\\end{tabular}\)}
et comme on a \blue\fbox{A=I-2J+J^2-\frac{x^2}{n^2}J^2=\left(I-(1+\frac{x}{n})J\right)\left(I-(1-\frac{x}{n})J\right)} et \blue\fbox{J^n=0} on voit que
A est inversible et que 2$\blue\fbox{A^{-1}=\left(\Bigsum_{p=0}^{n-1}(1+\frac{x}{n})^pJ^p\right)\left(\Bigsum_{q=0}^{n-1}(1-\frac{x}{n})^qJ^q\right)=\Bigsum_{0\le p,q\le n-1} (1+\frac{x}{n})^p(1-\frac{x}{n})^qJ^{p+q}}
et en posant i=p+q on a que 2$\fbox{A^{-1}=\bigsum_{i=0}^{n-1}\left(\Bigsum_{p=0}^{i}(1+\frac{x}{n})^p(1-\frac{x}{n})^{i-p}\right)J^i=\bigsum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{(1+\frac{x}{n})^{i+1}-(1-\frac{x}{n})^{i+1}}{\frac{2x}{n}}\right)J^i}

l'encadré rouge donne alors 2$\red\fbox{y_n=\frac{x}{n}<A^{-1}(e_1),e_n>}
soit aprés simplification 2$\fbox{y_n=\frac{1}{2}\bigsum_{i=0}^{n-1}\left((1+\frac{x}{n})^{i+1}-(1-\frac{x}{n})^{i+1}\right)<e_{i+1},e_n>=\frac{1}{2}\left((1+\frac{x}{n})^{n}-(1-\frac{x}{n})^{n}\right)}
et il est alors clair que 3$\red\fbox{\lim_{n\to+\infty}\;y_n=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=sh(x)} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 07-12-07 à 15:51

Bonjour ehlor

Ca me rassure je trouve la même chose

Par contre moi j'ai juste expliciter yn en utilisant les résultats sur les suites récurrentes d'ordre 2.

Merci pour ta méthode

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : [DS] Les suites. 07-12-07 à 16:40

De rien kévin

j'aimerai bien voir ta méthode pour l'exercice \fbox{2} .

qu'as tu fais pour l'exercice \fbox{1} ?

et le problème ??

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 07-12-07 à 17:00

J'ai fait ça moi :

L'équation caractéristique associée à la suite récurrente d'ordre 2 est 3$ \rm \red \fbox{r^2-2r+\(1-\frac{x^2}{n^2}\)=0}

D'après l'énoncé on a 3$ \rm \fbox{y_1=\frac{x}{n}} donc 3$ \rm \blue \fbox{\Delta=y_1^2>0}

Donc l'équation admet deux racines réelles distinctes 3$ \rm \red \fbox{\{r_1=1-y_1\\r_2=1+y_1}

On peut alors dire que 3$ \rm \blue \fbox{y_n=\alpha(1-y_1)^n+\beta(1+y_1)^n} avec 3$ \rm (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2

Sachant que 3$ \rm \fbox{\{y_0=0\\y_1=\frac{x}{n}} on en tire 3$ \rm \blue \fbox{\{\alpha=-\frac{1}{2}\\\beta=\frac{1}{2}}

Donc 3$ \rm \red \fbox{y_n=\frac{1}{2}\[(1+\frac{x}{n})^n-(1-\frac{x}{n})^n\]}

En passant à l'exponentielle on a 3$ \rm \blue \fbox{y_n=\frac{1}{2}\[\exp\(x.\frac{\ln\(1+\frac{x}{n}\)}{\frac{x}{n}}\)-\exp\(-x.\frac{\ln\(1-\frac{x}{n}\)}{-\frac{x}{n}}\)\]}

En passant à la limite on a bien 3$ \rm \red \fbox{\lim_{n\to +\infty}y_n=sh(x)} (sauf erreur bien entendu)



© ehlor

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : [DS] Les suites. 07-12-07 à 17:12

Et bien ! Chapeau kévin (et beaucoup plus simple qu'ehlor en plus)

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 07-12-07 à 17:12

Pour l'exercice 1 j'ai d'abord été surpris de l'indice donné

En fait j'ai considéré la fonction 3$ \rm \red \fbox{f: x\to \frac{3}{1+2x^2}} et j'ai montré qu'elle était décroissante.

Donc les suites extraites 3$ \rm (U_{2n})_{n\in \mathbb{N}} et 3$ \rm (U_{2n+1})_{n\in \mathbb{N}} sont monotones de monotonies différentes, celles-ci étant donné par le signe de 3$ \rm \blue \fbox{U_2-U_0}

On calcule cette différence en fonction de 3$ \rm U_0 et on obtient après simplification, au numérateur, le polynôme donné dans l'indice.

La factorisation permet d'étudier la monotonie des suites extraites en fonction de l'intervalle auquel appartient 3$ \rm U_0.

Par ailleurs 3$ \rm (U_n)_{n\in \mathbb{N}} est clairement bornée (une petite récurrence fait l'affaire), donc il en est de même pour ses suites extraites.

Et le seul candidat limite (en utilisant la relation de récurrence : 3$ \rm \blue \fbox{\ell=\frac{3}{1+2\ell^2}}) est 3$ \rm \red \fbox{\ell=1} ce qui permet de conclure.

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 07-12-07 à 17:16

Merci ehlor

Mais c'est pas vraiment recherché, plus ou moins de l'application du cours, en revanche il fallait y penser aux matrices

Le problème est bien plus corsé ! Dès qu'il est en ligne sur le site de la classe je le poste dans ce topic

J'ai le résultat du DS lundi !

Bon je vais aller faire mon DM : une équation fonctionnelle et une application 3$ \rm \varphi: [0,1]\right[0,1] bijective et continue en aucun point

Bonne soirée

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 07-12-07 à 17:19

Au passage l'exercice 3 je n'ai fait que la première question, en cours on n'a vu qu'une seule fois un exemple de recherche d'équivalent d'une suite implicite, et j'avoue avoir séché pendant le DS

Juste une idée ?

Posté par
gui_toure : [DS] Les suites 07-12-07 à 19:47

Bonsoir Ehlor et Kévin

Géniale ta démo Kévin, j'espère que lundi j'aurai le même exo

Mais tu as oublié une question

Citation :
Calculer la limite de  lorsque 3$\rm y_n tend vers plus l'infini. Qu'en pensez-vous ?


Posté par
infophilere : [DS] Les suites 07-12-07 à 19:50

Re guitou

Merci !

J'ai oublié d'y répondre tiens ! On a construit une suite qui permet d'approcher le sinus hyperbolique d'un nombre x quoi

Posté par
gui_toure : [DS] Les suites 07-12-07 à 20:17



Joliii \LaTeX à vous deux en tout cas

En anglais, 14 à une translation (major ^^) et .. 05 pour des verbes irréguliers Je me suis contenté de ceux appris en seconde, et encore ...

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 07-12-07 à 20:31

Merci

Bravo pour l'anglais

J'ai eu 15.5 à la translation du dernier DS je me suis épaté ^^

Posté par
gui_toure : [DS] Les suites 07-12-07 à 20:35

Citation :
Bravo pour l'anglais


Faut-il y sentir une pointe d'ironie ?

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 07-12-07 à 20:38

Non je disais bravo pour la traduction, les verbes on s'en fiche !

Posté par
gui_toure : [DS] Les suites 07-12-07 à 20:41

Excellente mentalité

Bravo à toi aussi alors

J'ai la pétoche pour le DS de maths de lundi, j'ai pas envie d'être mal classé

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 07-12-07 à 20:49

Merci !

C'est sur quoi ton DS ? Tu majores les khôlles alors t'as pas à t'en faire

Posté par
gui_toure : [DS] Les suites 07-12-07 à 21:00

Sur les suites ! J'espère qu'il n'y aura pas trop d'epsilon

Mais on va surement avoir un ou deux exos sur les ensembles (beurk mais passe encore)  ou bien aussi dénombrement (beurk beurk)

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 07-12-07 à 21:01

Mdr sacré Mika

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 11-12-07 à 06:44

Bonjour

J'ai eu le corrigé du DS, le problème portait sur la démonstration et applications de la transformation d'Abel.

Posté par
1 Schumi 1re : [DS] Les suites 11-12-07 à 08:59

Ben vas-y, t'attends quoi pour nous filer le problème? On attend que ça nous.

Posté par
infophilere : [DS] Les suites 11-12-07 à 13:50

J'attends que quelqu'un de ma classe le scanne va

Bon je quitte la salle info, direction cours de français ^^


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