Niveau maths spé

DSE de Arctan(1+x)

Posté par
eleveenprepa 14-01-18 à 16:04

Bonjour
Je dois déterminer le développement en série entière de la fonction $f : x \mapsto \arctan(1+x)$
J'ai eu l'idée de la dériver, pour me ramener à une fonction rationnelle.
Là, je trouve : $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{1}{x^2+2x+2}$
$\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{1}{x^2+2x+2} = \frac{i/2}{x+1+i} + \frac{-i/2}{x+1-i}$
Moi j'avais continué en écrivant que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{1}{x^2+2x+2} = \frac{i/2}{(1+i)(1+\frac{x}{1+i})} + \frac{-i/2}{(1-i)(1+ \frac{x}{1-i})}$ car on connaît le DSE de $x \mapsto \frac{1}{1+x}$ mais ça m'emmenait des calculs assez compliqués....
En cherchant un peu sur internet j'ai trouvé ceci :
$[tex]f'(x) = 2 \text{Re}\left(\frac{\alpha}{x+1-i}\right) = \text{Im} \left(\frac{1}{x+1-i}\right)$
[/tex] avec $\alpha = -\frac{i}{2}$
Puis $f'(x) = 2 \text{Re}\left(\frac{\alpha}{x+1-i}\right) = \text{Im} \left(\frac{1}{x+1-i}\right)$
Je ne comprends pas du tout d'où ça vient (je sais que $\forall z \in \mathbb{C}, z + \bar{z} = 2 \text{Re}(z)$ ), mais ici $\alpha$ et $\bar{\alpha}$ ne sont pas sur le même dénominateur. J'ai beau essayé de comprendre d'où ça vient, je ne vois pas. J'apprécierais beaucoup que vous m'aidiez à comprendre ce passage
Merci d'avance

Posté par re : DSE de Arctan(1+x) 14-01-18 à 16:07

Petite erreur d'inattention il y avait deux fois la même ligne, désolé !

eleveenprepa @ 14-01-2018 à 16:04

Bonjour
Je dois déterminer le développement en série entière de la fonction $f : x \mapsto \arctan(1+x)$
J'ai eu l'idée de la dériver, pour me ramener à une fonction rationnelle.
Là, je trouve : $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{1}{x^2+2x+2}$
$\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{1}{x^2+2x+2} = \frac{i/2}{x+1+i} + \frac{-i/2}{x+1-i}$
Moi j'avais continué en écrivant que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{1}{x^2+2x+2} = \frac{i/2}{(1+i)(1+\frac{x}{1+i})} + \frac{-i/2}{(1-i)(1+ \frac{x}{1-i})}$ car on connaît le DSE de $x \mapsto \frac{1}{1+x}$ mais ça m'emmenait des calculs assez compliqués....
En cherchant un peu sur internet j'ai trouvé ceci :
$f'(x) = \frac{\alpha}{x+1-i} +\frac{\bar{\alpha}}{x+1+i}$
avec $\alpha = -\frac{i}{2}$
Puis $f'(x) = 2 \text{Re}\left(\frac{\alpha}{x+1-i}\right) = \text{Im} \left(\frac{1}{x+1-i}\right)$
Je ne comprends pas du tout d'où ça vient (je sais que $\forall z \in \mathbb{C}, z + \bar{z} = 2 \text{Re}(z)$ ), mais ici $\alpha$ et $\bar{\alpha}$ ne sont pas sur le même dénominateur. J'ai beau essayé de comprendre d'où ça vient, je ne vois pas. J'apprécierais beaucoup que vous m'aidiez à comprendre ce passage
Merci d'avance

Posté par re : DSE de Arctan(1+x) 14-01-18 à 16:20

Bonjour,

$\dfrac{\alpha}{x+1-i}$ et $\dfrac{\bar\alpha}{x+1+i}$ sont complexes conjugués.

Posté par re : DSE de Arctan(1+x) 14-01-18 à 16:47

Ah effectivement.... c'était tout bête
Merci beaucoup !!

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