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Dtl sur les nombres complexe

Posté par
Trinks
02-01-18 à 15:34

Bonjour a tous je suis nouveaux sur ce forum et j'aurais besoin d'aide pour un dtl a rendre pour le 8 janvier 2018.
Le sujet le voici:
Dan le plan complexe, on considère le point I d'affixe i. Si M est un point d'affixe z, on note M' le point d'affixe iz.

1/
A) Soient A,B et C trois points du plan complexe deux à deux distincts d'affixes respectives a,b et c
Demontrer que A,B et C sont alignés si, et seulement si, (b-a)/(c-a) appartiennent au réel.
B) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels qud I,M et M' soient alignés.
2/ Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que les droites (IM) et (IM' soient perpendiculaires.

Voilà j'ai beau chercher je n'arrive pas a trouver de piste si quelqu'un veut bien m'aider en m'accompagnant sans me donner forcement les réponses cela serait merveilleux.
Merci a tous eux qui voudront bien cherché

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 15:42

Trinks @ 02-01-2018 à 15:34

Bonjour a tous je suis nouveau sur ce forum et j'aurais besoin d'aide pour un dtl a rendre pour le 8 janvier 2018.
Le sujet le voici:
Dan le plan complexe, on considère le point I d'affixe i. Si M est un point d'affixe z, on note M' le point d'affixe iz.

1/
A) Soient A,B et C trois points du plan complexe deux à deux distincts d'affixes respectives a,b et c
Demontrer que A,B et C sont alignés si, et seulement si, (b-a)/(c-a) appartiennent au réel.
B) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels qud I,M et M' soient alignés.
2/ Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que les droites (IM) et (IM' soient perpendiculaires.

Voilà j'ai beau chercher je n'arrive pas a trouver de piste si quelqu'un veut bien m'aider en m'accompagnant sans me donner forcement les réponses cela serait merveilleux.
Merci a tous eux qui voudront bien cherché

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 15:57

Bonjour,

1)Comment traduire à l'aide de vecteurs que les points A,B,C sont alignés ?

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 16:02

lake @ 02-01-2018 à 15:57

Bonjour,

1)Comment traduire à l'aide de vecteurs que les points A,B,C sont alignés ?



Normalement on trouve le coefficient directeur entre 2 vecteurs tel que le vecteur X=k×le vecteur Y mais vue que je que des inconnues je voie pas comment on peut faire

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 16:20

A,B,C sont alignés ssi par exemple \vec{AB} et \vec{AC} sont colinéaires.

  Autrement dit, si et seulement s'il existe un réel k tel que \vec{AB}=k\vec{AC}

  A traduire avec les affixes...

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 16:29

lake @ 02-01-2018 à 16:20

A,B,C sont alignés ssi par exemple \vec{AB} et \vec{AC} sont colinéaires.

  Autrement dit, si et seulement s'il existe un réel k tel que \vec{AB}=k\vec{AC}

  A traduire avec les affixes...



Ok d je crois avoir trouver comment tout prouver pour la 1/a) merci. Juste pour information le terme "3 points du plan complexe deux a deux distincts" qu'est ce que ca veut dire?

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 16:31

Deux à deux distincts:

  A\not=B  et B\not=C et C\not=A

   ...et donc même chose avec les affixes.

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 16:36

lake @ 02-01-2018 à 16:31

Deux à deux distincts:

  A\not=B  et B\not=C et C\not=A

   ...et donc même chose avec les affixes.



D'accord je voulais juste confirmation merci 😁

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 17:05

J'ai posé:
-Za= xa+iya
-Zb=xa+iyb
-Zc=xc+iyc

J'ai remplacé dans la fraction (b-a)/(c-a) les affixes correspondantes, j'ai multiplé le dénominateur par le complexe conjugué mais après j'ai une énorme ligne de calcul de 16 terme et je ne sais pas quoi en tiré cela donne ca:
[xb×xc-xb×xa+xb×i(yc+a)-xa×xc+x2-xa×i(yc+ya)+xc×i(yb+yb)-xa×i(yb+ya)-yb×yc-yb×ya-ya×yc-y2]/[(xc-xa)2+(yc+ya)2

Même en separant partie réelle et partie imaginaire et en développant je vois pas comment l'exploiter

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 17:26

bonjour,
j'ai aussi le même dm et je galère pas mal.
est ce que ceci peut servir à quelque chose ? : si \frac{b-a}{c-a}\in R alors \frac{b-a}{c-a}=k ce qui revient à kc-ka-b+a=0

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 17:30

Tu compliques les choses inutilement:

S'il existe k réel tel que \vec{AB}=k\vec{AC}, en passant aux affixes:

    b-a=k(c-a)    (des affixes de vecteurs).

ou encore compte tenu que c\not=a:

    \dfrac{b-a}{c-a}=k avec k réel.

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 17:32

Désolé je suis nouveau ici et je ne maitrise pas vraiment les fonctions du site donc ce que je voulais dire après les deux points était : si  \frac{b-a}{c-a} alors \frac{b-a}{c-a}=k donc on a kc-ka-b+a=0
encore désolé du repost.

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 17:34

lake @ 02-01-2018 à 17:30

Tu compliques les choses inutilement:

S'il existe k réel tel que \vec{AB}=k\vec{AC}, en passant aux affixes:

    b-a=k(c-a)    (des affixes de vecteurs).

ou encore compte tenu que c\not=a:

    \dfrac{b-a}{c-a}=k avec k réel.



Ok oui je me suis vraiment compliqué la tache en effet

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 17:36

ok et bah merci bien alors je vais essayer de trouver une solution sans me compliquer

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 17:48

j'ai farfouillé sur net pour  trouver des pistes et je trouve beaucoup de choses avec des "arguments"(arg) mais je n'ai jamais vu ça.
Donc est ce que quelqu'un peut me rassurer en me disant juste qu'il existe bien une autre méthode que les arguments pour résoudre ce DM.
merci

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 17:50

Pour ceci:

  

Citation :
B) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels qud I,M et M' soient alignés.


Il suffit d'appliquer A)

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 18:02

lake @ 02-01-2018 à 17:50

Pour ceci:

  
Citation :
B) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels qud I,M et M' soient alignés.


Il suffit d'appliquer A)



Donc en remplaçant I,M et M' par leurs affixes respectifs soit : i, z(=x+iy) et iz(=ix-y)
c'est bien ca ?

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 18:09

Je te conseille de garder z pour l'affixe de M et iz pour l'affixe de M' et de passer le plus tard possible à z=x+iy (on n'y coupera pas).

  Ceci étant dit, un complexe Z est réel si et seulement si Z=\bar{Z}

  Pour ton exercice, cela revient à écrire:

    \dfrac{iz-i}{z-i}=\overline{\left( \dfrac{iz-i}{z-i}\right)}

ou encore:

    \dfrac{iz-i}{z-i}=\dfrac{-i\bar{z}+i}{\bar{z}+i}

  Produit en croix, on développe, tout dans un membre et on regarde...

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 18:11

Je dois quitter provisoirement; je repasserai plus tard...

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 18:16

ho merci beaucoup je pense que ca va bien m'aider !!!
bon et bien à plus tard alors je posterai mes trouvailles

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 18:44

j'ai posé \frac{-i\bar{z}+i}{\bar{z}+i}=\frac{-i(x-iy)+i}{x-iy+i} puis j'obtient \frac{-ix^2+iy^2+ix-iy+2xy-x-y+1}{x^2+y^2-2y+1} mais après je ne vois pas ce qu'il faut faire et je ne suis même pas sûr de mon résultat

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 21:14

Ce n'est pas la meilleure façon de s'y prendre; je te propose une solution pour que tu voies comment mener ce genre de calcul:

  On cherche donc l'ensemble des points M d'affixe z tels que:

   \dfrac{iz-i}{z-i}\in\mathbb{R} avec \begin{cases}z\not=i\\iz\not=i\\z\not=iz\end{cases} c'est à dire \begin{cases}z\not=i\\z\not=1\\z\not=0\end{cases}

\dfrac{iz-i}{z-i}\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow \dfrac{iz-i}{z-i}=\overline{\left(\dfrac{iz-i}{z-i}\right)}\Longleftrightarrow \dfrac{iz-i}{z-i}=\dfrac{-i\bar{z}+i}{\bar{z}+i}

Puis avec des équivalences entre chaque ligne:

   (iz-i)(\bar{z}+i)=(z-i)(-i\bar{z}+i)

  iz\bar{z}-i\bar{z}-z+1=-iz\bar{z}-\bar{z}+iz+1  

  2iz\bar{z}-i(z+\bar{z})-(z-\bar{z})=0

  On divise tout par 2i pour faire apparaître z\bar{z}=|z|^2=x^2+y^2  avec z=x+iy:

   z\bar{z}-\dfrac{z+\bar{z}}{2}-\dfrac{z-\bar{z}}{2i}=0

  et seulement maintenant, on pose z=x+iy

  On sait que: z\bar{z}=|z|^2=x^2+y^2,   \dfrac{z+\bar{z}}{2}=\Re(z)=x  et  \dfrac{z-\bar{z}}{2i}=\Im(z)=y

  Du coup, l'équation devient:

   x^2+y^2-x-y=0

   qui est probablement une équation de cercle que tu mettras sous forme canonique pour obtenir son centre et son rayon (il ne faudra pas oublier de priver le cercle en question des points d'affixe 0,  1 et i).

Applique toi à  refaire ces calculs.

Tu pouvais insister en posant z=x+iy depuis le début mais les calculs sont plus lourds...

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 21:59

Ho mon dieux merci beaucoup je n'aurai jamais pensé à faire comme ça !!!
Bon il se fait tard donc je reprendrai demain tous les calculs points par points en essayant de tout comprendre.
Encore merci et je posterai l'avancé de mes recherches.

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 02-01-18 à 22:03

Excusez moi j'ai du m'absenter un long moment encore merci j'avoue que sans toi j'aurais jamais sut comment faire ces questions

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 03-01-18 à 11:43

Je reprends la question en posant z=x+iy depuis le début:

On cherche pour quelles valeurs de z le complexe Z=\dfrac{iz-i}{z-i} est réel avec z différent des trois valeurs i,  1 et 0

  On pose donc z=x+iy avec (x,y) différent des trois couples (0,1),  (1,0) et (0,0).

  Z=\dfrac{i(x+iy)-i}{x+iy-i}=\dfrac{-y+i(x-1)}{x+i(y-1)}

  Z=\dfrac{[-y+i(x-1)][x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)][x-i(y-1)]}=\dfrac{-xy+(x-1)(y-1)+i[x(x-1)+y(y-1)]}{x^2+(y-1)^2}

  Z=\dfrac{-x-y+1}{x^2+(y-1)^2}+i\,\dfrac{x^2+y^2-x-y}{x^2+(y-1)^2}

et Z\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow \Im(Z)=0\Longleftrightarrow x^2+y^2-x-y=0

Tu choisis ton camp: ça ou 21h14

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 03-01-18 à 14:01

lake @ 02-01-2018 à 21:14

Ce n'est pas la meilleure façon de s'y prendre; je te propose une solution pour que tu voies comment mener ce genre de calcul:

  On cherche donc l'ensemble des points M d'affixe z tels que:

   \dfrac{iz-i}{z-i}\in\mathbb{R} avec \begin{cases}z\not=i\\iz\not=i\\z\not=iz\end{cases} c'est à dire \begin{cases}z\not=i\\z\not=1\\z\not=0\end{cases}

\dfrac{iz-i}{z-i}\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow \dfrac{iz-i}{z-i}=\overline{\left(\dfrac{iz-i}{z-i}\right)}\Longleftrightarrow \dfrac{iz-i}{z-i}=\dfrac{-i\bar{z}+i}{\bar{z}+i}

Puis avec des équivalences entre chaque ligne:

   (iz-i)(\bar{z}+i)=(z-i)(-i\bar{z}+i)

  iz\bar{z}-i\bar{z}-z+1=-iz\bar{z}-\bar{z}+iz+1  

  2iz\bar{z}-i(z+\bar{z})-(z-\bar{z})=0

  On divise tout par 2i pour faire apparaître z\bar{z}=|z|^2=x^2+y^2  avec z=x+iy:

   z\bar{z}-\dfrac{z+\bar{z}}{2}-\dfrac{z-\bar{z}}{2i}=0

  et seulement maintenant, on pose z=x+iy

  On sait que: z\bar{z}=|z|^2=x^2+y^2,   \dfrac{z+\bar{z}}{2}=\Re(z)=x  et  \dfrac{z-\bar{z}}{2i}=\Im(z)=y

  Du coup, l'équation devient:

   x^2+y^2-x-y=0

   qui est probablement une équation de cercle que tu mettras sous forme canonique pour obtenir son centre et son rayon (il ne faudra pas oublier de priver le cercle en question des points d'affixe 0,  1 et i).

Applique toi à  refaire ces calculs.

Tu pouvais insister en posant z=x+iy depuis le début mais les calculs sont plus lourds...



J'ai repris ces calculs puis  j'ai mis sous forme canonique donc j'obtient (x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}+(y-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}=0
puis j'obtient (x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{2}
et donc on a un cercle \Omega (\frac{-1}{2};\frac{-1}{2}) et de rayon R=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
Mais après je ne sais pas quoi en faire

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 03-01-18 à 14:37

Et ensuite pour la 2) j'ai fait ça mais j'ai l'impression que c'est pas du tout ça :
(IM)\perp (IM') \Leftrightarrow \vec{u}(\frac{x}{y})\times\vec{v}(\frac{x'}{y'})=0
donc xx'+yy'=0

Puis j'ai trouvé I(\frac{0}{i})M(\frac{x}{iy})M'(\frac{ix}{-y})
donc j'en déduit IM(\frac{x}{iy-i})\; IM'(\frac{ix}{-y-i})
et enfin on applique la formule
x\times ix+(iy-i)(-y-i)=0
ix^2-iy^2+y+iy-1=0
i(x^2-y^2+y)+y-1=0
mais après je ne sais pas quoi faire

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 03-01-18 à 15:45

Citation :
puis j'obtient (x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{2}
et donc on a un cercle \Omega (\frac{-1}{2};\frac{-1}{2}) et de rayon R=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
Mais après je ne sais pas quoi en faire


Erreur: \Omega (\frac{1}{2};\frac{1}{2})

Et tu as répondu à la question! L'ensemble des points M cherché est ce cercle (qu'on prive des points O,I,A d'affixes 0,i,1)

Citation :
Puis j'ai trouvé I(\frac{0}{i})M(\frac{x}{iy})M'(\frac{ix}{-y})


   Des complexes dans des coordonnées! Il faut choisir son camp: ou tu travailles en coordonnées avec des coordonnées réelles ou bien avec les complexes. Ici, vu que ton exercice porte que les complexes, il est plus indiqué de les utiliser.

   (IM)\perp (IM')\Longleftrightarrow (\vec{IM},\vec{IM'})=\dfrac{\pi}{2}\,\,[\pi]\Longleftrightarrow Arg\left(\dfrac{iz-i}{z-i}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,\,[\pi]

Autrement dit Z est un imaginaire pur (le même Z calculé en fonction de x et y à 11h43):

    
Citation :
Z=\dfrac{-x-y+1}{x^2+(y-1)^2}+i\,\dfrac{x^2+y^2-x-y}{x^2+(y-1)^2}


  A quelle condition Z est-il un imaginaire pur ?



  

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 03-01-18 à 18:19

Merci de m'avoir corrigé et surtout merci de m'avoir aider à faire cette premiere partie parce que j'y serais jamais arrivé

je suis désolé mais je n'ai pas vraiment saisi l'idée ici

lake @ 03-01-2018 à 15:45


(IM)\perp (IM')\Longleftrightarrow (\vec{IM},\vec{IM'})=\dfrac{\pi}{2}\,\,[\pi]\Longleftrightarrow Arg\left(\dfrac{iz-i}{z-i}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,\,[\pi]
  


Et ensuite Z est un imaginaire pur si dans l'expression
lake @ 03-01-2018 à 15:45


    
Citation :
Z=\dfrac{-x-y+1}{x^2+(y-1)^2}+i\,\dfrac{x^2+y^2-x-y}{x^2+(y-1)^2}

  

\dfrac{-x-y+1}{x^2+(y-1)^2}=0
c'est ça ?

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 03-01-18 à 21:14

Tu n'as pas vu dans ton cours qu'avec 4 points A(a),B(b),C(c),D(d) (les affixes sont entre parenthèses) en supposant A\not=B et C\not=D:

   (\vec{CD},\vec{AB})=Arg\left(\dfrac{b-a}{d-c}\right)\,\,[2\pi] ?

Ou peut-être:

   Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si le rapport de leurs affixes est un imaginaire pur?

Pour la suite, oui et une fraction de dénominateur non nul (c'est le cas avec z\not=i) s'annule quand ?

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 16:25

Je suis désolé mais pour le moment je n'ai jamais vu les arguments...

lake @ 03-01-2018 à 21:14


   Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si le rapport de leurs affixes est un imaginaire pur?

ceci me dit quelque chose mais je viens de vérifier dans mon cours et je ne trouve rien là dessus peut être que Trinks peut le confirmer (on est dans la même classe).
Et du coup la fraction s'annule quand -x-y+1=0 et du coup quand -x-y=-1 ou bien x=-y+1 c'est ça ?

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 16:31

Oui, c'est l'équation d'une droite (encore une fois privée de I(i) et A(1)

Citation :
pour le moment je n'ai jamais vu les arguments...


Mais peut-être une condition pour que deux droites (AB) et (CD) soient perpendiculaires (avec les affixes) ?

Autrement, il faut utiliser Pythagore et les modules...

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 16:52

Okey merci
Je vais voir pour utiliser pythagore mais par contre les modules on ne les a vu que avec des équations avec cos(x) et sin(x) mais je crois avoir capté ce que c'est

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 17:11

Tu (vous) posteras (ez) ce que tu (vous) as  (avez) fait.

Je repasserai...

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 17:11

Vous m'avez perdu la. Mais non désolé Alrick on a pas vue ce point la en cours

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 17:43

Mais du coup on doit utiliser le produit vectoriel (xx'+yy'=0) pour montrer que (IM) et (IM') sont perpendiculaires ?

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 17:56

Plutôt produit scalaire

Mais non; si tu passes en coordonnées cartésiennes, plus de complexes et ton exercice porte tout de même sur les complexes.

  (IM)\perp (IM')\Longleftrightarrow IM^2+IM'^2=MM'^2\Longleftrightarrow |z-i|^2+|z'-i|^2=|z'-i|^2

\Longleftrightarrow |z-i|^2+|iz-i|^2=|iz-z|^2

\Longleftrightarrow |z-i|^2+|i|^2|z-1|^2=|z|^2|i-1|^2

\Longleftrightarrow |z-i|^2+|z-1|^2=2|z|^2

tu continues ?

Un petit rappel: |Z|^2=Z\bar{Z} en sorte que par exemple:

    |z-i|^2=(z-i)\overline{(z-i)}=(z-i)(\bar{z}+i)

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 17:58

A la première ligne, il faut lire:

  (IM)\perp (IM')\Longleftrightarrow IM^2+IM'^2=MM'^2\Longleftrightarrow |z-i|^2+|z'-i|^2=|z'-{\red z}|^2

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 18:10

\Longleftrightarrow |z-i|^2+|i|^2|z-1|^2=|z|^2|i-1|^2

\Longleftrightarrow |z-i|^2+|z-1|^2=2|z|^2

Tu peux m'expliquer le passage entre ces 2 ligne stp

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 19:11

|i|^2=|0+1\times i|^2=0^2+1^2=1

|i-1|^2=|-1+1\times i|^2=(-1)^2+(1)^2=2

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 19:22

j'ai fait cela a partir de la dernière ligne que tu donne à 17h56:
(z-i)(\bar{z}+i)+(z-1)(\bar{z}+1)=2z\bar{z}
z\bar{z}+iz-i\bar{z}+1+z-\bar{z}+1=2z\bar{z}
2z\bar{z}+iz-i\bar{z}+1+z-\bar{z}+1=2z\bar{z}
iz-i\bar{z}+1+z-\bar{z}+1+z-\bar{z}+1=0
i(z-\bar{z})+2+z-\bar{z}=0
i(x+iy-(x-iy))+2+(x+iy)-(x-iy)=0
i(x+iy-x+iy)+2+x+iy-x+iy=0
i(2iy)+2+2iy=0
-2y+2+i2y=0

Mais je ne sais pas du tout si c'est ca :/

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 19:23

lake @ 04-01-2018 à 19:11

|i|^2=|0+1\times i|^2=0^2+1^2=1

|i-1|^2=|-1+1\times i|^2=(-1)^2+(1)^2=2

lake @ 04-01-2018 à 19:11

|i|^2=|0+1\times i|^2=0^2+1^2=1

|i-1|^2=|-1+1\times i|^2=(-1)^2+(1)^2=2




d'accord merci

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 19:26

Dès la première ligne:

le conjugué d'un réel est ce réel: \bar{-1}=-1

  et donc \overline{z-1}=\bar{z}-1 et non \bar{z}+1

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 19:32

lake @ 04-01-2018 à 19:26

Dès la première ligne:

le conjugué d'un réel est ce réel: \bar{-1}=-1

  et donc \overline{z-1}=\bar{z}-1 et non \bar{z}+1



Ha oui en effet merci du coup j'ai refait les calcul du coup je trouve à la fin:
-2y+2-2x=0

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 19:32

Voilà pour le moment ce que j'ai sur ma copie :
1)
a:
Si \frac{b-a}{c-a}\in\R alors \frac{b-a}{c-a} = k
\Leftrightarrow b-a=k(c-a)
sachant que c\neq a\; , \vec{AB}=k\vec{AC} donc \frac{b-a}{c-a}=k\in \R

b:
On cherche l'ensemble des points M d'affixe z tels que :
\frac{iz-i}{z-i}\in \R\; avec \begin{cases} & \text{ } z\neq i \\ & \text{ } iz\neq i \\ & \text{ } z\neq iz \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} & \text{ } z\neq i \\ & \text{ } z \neq 1 \\ & \text{ } z \neq 0 \end{cases}
Or Z\in \R si Z=\bar{Z}
donc
\dfrac{iz-i}{z-i}\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow \dfrac{iz-i}{z-i}=\overline{\left(\dfrac{iz-i}{z-i}\right)}\Longleftrightarrow \dfrac{iz-i}{z-i}=\dfrac{-i\bar{z}+i}{\bar{z}+i}

Par équivalence : (iz-i)(\bar{z}+i)=(z-i)(-i\bar{z}+i)

iz\bar{z}-i\bar{z}-z+1=iz\bar{z}-\bar{z}+iz+1
2iz\bar{z}-i(z+\bar{z})-(z-\bar{z})=0
z\bar{z}-\frac{z+\bar{z}}{2}-\frac{z-\bar{z}}{2i}=0

z=x+iy, on sais que :
z\bar{z}=x^2+y^2
\frac{z+\bar{z}}{2}=\Re (z)=x
\frac{z+\bar{z}}{2i}=\Im (z)=y

Donc on a x^2+y^2-x-y=0

passage sous forme canonique :
(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=0
(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}\Rightarrow équation de cercle
\Omega (\frac{1}{2};\frac{1}{2}) de rayon R = \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
Donc l'ensemble des points M\in \Omega (\frac{1}{2};\frac{1}{2}) de rayon R = \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} privé de 0; i; 1

2)
On a
\vec{IM}=z-i=x+iy-i=x+i(y-1)
\vec{IM'}=iz-i=ix-y-i=-y+i(x-1)

Deux vecteurs sont orthogonaux si xx'+yy'=0
Donc on a :
x(-y)+(y-1)(x-1)=-xy+xy-y-x+1=0
                                  =-x-y+1=0
\Leftrightarrow x=-y+1
c'est une équation de droite

Donc l'ensemble des points M d'affixe z tels que les droite (IM) et (IM') soient perpendiculaires appartiennent à la droite d'équation x=-y+1


PS : Merci à tous les camarades de la classe qui passent par ici de ne pas recopier ce que j'ai écrit mais plutot de tout refaire en vous aidant de ça (si c'est juste) ou demandez moi de l'aide si vous avez pas compris quelque chose

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 20:13

Citation :
Donc l'ensemble des points M\in \Omega (\frac{1}{2};\frac{1}{2}) de rayon R = \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} privé de 0; i; 1


  Je préfère:

   privé de O,I et A d'affixes 0, i et 1

Citation :
Donc l'ensemble des points M d'affixe z tels que les droite (IM) et (IM') soient perpendiculaires appartiennent à la droite d'équation x=-y+1


Donc l'ensemble des points M d'affixe z tels que les droite (IM) et (IM') soient perpendiculaires \cancel{\text{appartiennent à}} est la droite d'équation x=-y+1 privée des points I et A d'affixes i et 1

Finalement, pour la 2), tu n'as pas pu t'empêcher de repasser très rapidement aux coordonnées cartésiennes

  On ne peut pas vraiment t'en vouloir

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 20:27

>> Alrick et Trinks:

J'estime que vous avez bien travaillé sur cet exercice et je ne regrette pas notre "collaboration".

Si en plus vous avez touché du doigt qu'on peut aborder un problème de différentes manières, je serai enchanté

Posté par
Trinks
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 20:39

Merci a toi tu nous a bien aidé pour ce dm et je pense pas qu'on aurait reussi sans ton aide

Posté par
lake
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 20:44

Un petit dessin pour finir:

Dtl sur les nombres complexe

Et de rien!

Posté par
Alrick
re : Dtl sur les nombres complexe 04-01-18 à 20:56

Bon et bien je suis content que ce dm soit fini et je te remercie de ton aide et des petites correction personnellement tu m'as vraiment bien aidé et je ne sais pas si j'aurai réussi sans toi donc un grand merci ce fut aussi un plaisir et je te tiendrai au courant de la note et de la correction.
Ha oui et pour la 2) j'ai préféré utiliser quelque chose qui me parlais le plus.

1 2 +


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