Bonjour

En fait tu veux montrer que f est minorée et atteint son minimum. Ceci est vrai pour toute fonction continue sur [a,b] et ne nécessite pas de dérivabilité!

bonjour,
d'accord,les arguments de derivabilite et le fait que f'(a)et f'(b) non nuls et de signes differents n'etaient pas necessaires!!
En fait,il faut montrer que c est different de a.
on va proceder par l'absurde.
Si je suppose que f a un minimum en a avec f'(a) negatif je trouve rapidement une contradiction donc c different de a.
Mais par contre, si on suppose que f ait un minimum en a et f'(a) positif je bloque...
Par l'absurde ;
supposons c=a, si f'(a)>=0 alors (f(x)-f(a)) / x-a est positif quel que soit x appartenant a ]a,b] car la derivee en a est positif....je n'arrive pas trouver de contradiction si f'(a)>=0.
                                                                  merci d'avance

Rebonjour

Heureusement! la propriété est fausse!

Prends f(x)=1-x² sur [-2,1], tu verras!

pour votre exemple ,c'est vrai,car en effet f'(x)<=0
pour ce cas je l'ai prouve (1er cas) et pour f'(x)>=0 ???

*1er cas:f'(a)<=0
le  minimum de f ne peut pas etre en a,car ,sinon on aurait quelque soit x appartenant a ]a,b]   (f(x)-f(a)) / x-a positif ,en prenant la limite quand x tend vers a,on aurait f'(a)>=0 ,ce qui est impossible donc a n'est pas le minimum.

*2eme cas: f'(a)>=0  
j'arrive pas a prouver que le minimum  est different de a. que faire?

Je te donne un exemple ou f'(-2)=4> 0 et où le minimum est en -2; que veux-tu de plus? Ton énoncé est faux!

ooooook! je suis entierement d'accord.je m'etait embrouille vers la fin. pour f'(b)<=0 est ce qu'on peut trouver un contre-exemple?

C'est le même non?

C'était quoi précisément la question de ton exo?

la question etait :f:[a , b] -> R derivable ,f':[a , b] -> R .
f'(a) f'(b) non nuls et de signes contraires. c est le minimum de f.
montrer que c different de a.
montrer que c different de b.

Eh bien, c'est faux!

Regarde cette fonction sur [-2,1] c'est f(x)=-x²/2