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dual topologique de l²

Posté par
romu 31-03-08 à 02:16

Bonsoir,

je cherche le dual topologique de 3$(l^2_{\mathbb{K}}(\mathbb{N}),||.||_2).

J'ai vu le théorème de représentation de Riesz, mais je ne vois pas comment l'exploiter.

Merci pour vos indications

Posté par
ottore : dual topologique de l² 31-03-08 à 04:20

Bonjour,
tout espace de Hilbert est isométriquement isomorphe à son dual non ?

Justement avec le théorème de Riesz c'est immédiat...

Que dit-il ?

Posté par
romure : dual topologique de l² 31-03-08 à 19:15

Bonsoir otto,

Citation :
tout espace de Hilbert est isométriquement isomorphe à son dual non ?


oui et ça me pousserait naturellement à identifier l^2_{\mathbb{K}}(\mathbb{N}) à son dual, mais est-ce la réponse attendue ?

Posté par
romure : dual topologique de l² 31-03-08 à 19:22

Le théorème de Riesz est énoncé de cette  façon:

Soit (H,(.|.)) un \mathbb{K}-espace de Hilbert et ||.||_H est la norme associée au produit scalaire (.|.).

Alors l'application J:H\rightarrow H' qui à a\in H associe la forme linéaire x\rightarrow (x|a) est semi-linéaire, bijective, bicontinue et isométrique.

Et ceci nous dit en particulier que pour toute forme linéaire continue \varphi\in H', il existe un vecteur a\in H et un seul tel que \fbox{\varphi=(.|a)}

Posté par
romure : dual topologique de l² 31-03-08 à 19:33

Donc pour revenir au cas de l^2_{\mathbb{K}}(\mathbb{N}),

je sais que pour toute forme linéaire 3$\varphi\in (l^2_{\mathbb{K}}(\mathbb{N}))', il existe un unique vecteur g\in l^2_{\mathbb{K}}(\mathbb{N}) tel que

\varphi=(.|g), et donc pour tout f\in l^2_{\mathbb{K}}(\mathbb{N}),

on a 4$\varphi(f)=(f|g)=\Bigsum_{k=0}^{\infty} f(k)\overline{g(k)}.

Donc 4$(l^2_{\mathbb{K}}(\mathbb{N}))'=\{f\rightarrow \Bigsum_{k=0}^{\infty} f(k)\overline{g(k)}:\ g\in l^2_{\mathbb{K}}(\mathbb{N})\}.

Il n'y a rien de plus à dire?

Posté par
ottore : dual topologique de l² 01-04-08 à 02:18

Non, à tout élément de l^2* tu peux associer isométriquement un élément de l^2 et inversement, ça suffit, non ?

Posté par
romure : dual topologique de l² 01-04-08 à 21:03

bon ok.

merci otto


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