Bonsoir,

Personnellement je ne comprends pas l'énoncé, est tu sur d'avoir retranscrit totalement l'énoncé ?

oui, il est juste précisé ou n est un entier naturel et dans la question précédente qui est la premiere en fait il fallait developper et réduire les identités remarquables (a+b)au carré; (a+b) au cube et (a+b)4....ce que j'ai fait mais je n'arrive pas à faire le lien .....
Merci pour vous être interesse a mon probleme ...

En utilisant l'identité remarquable :

(a + b)² = a² + 2 ab + b²

Calculons successivement :

(1 + 1)² = 1² + 2*1 + 1²
(1 + 2)² = 1² + 2*2 + 2²
(1 + 3)² = 1² + 2*3 + 3²
.......................
(1 + (n-1))² = 1² + 2*(n-1) + (n-1)²
(1 + n)² = 1² + 2*n + n².

ajoute membre à membre ces égalités,
puis remarque que des simplifications sont évidentes :

(1+1)² = 2²
(1+2)² = 3²
...........
(1 + (n-1))² = n²

Après simplifications on obtient :
(1 + n)² = n + 2(1 + 2 + 3 +......+(n-1) + n) + 1
......... à simplifier

Evidemment, c'set pas la méthode la plus simple qu'il soit

Merci beaucoup pour cette aide précieuse je comprends tout jusque (1+n)au carré =
Pourquoi le 2*n devient 2(1+2+3+..+(n-1)+n)?
désolé si je pose des questions bêtes mais je veux vraiment comprendre...
et si j'ajoute membre à membre, la somme ne s'appelle plus Sn ? Peut on dire que c'est S(n+1)au carré

salut
tout ce que je sais c'est que s=n(n+1)/2

(1 + 1)² = 1² + 2*1 + 1²
(1 + 2)² = 1² + 2*2 + 2²
(1 + 3)² = 1² + 2*3 + 3²
.......................
(1 + (n-1))² = 1² + 2*(n-1) + (n-1)²
(1 + n)² = 1² + 2*n + n².

on ajoute membre à membre les égalites précedentes
et on obtient, après simplifications :

(1 + n)² = n + 2(1 + 2 + 3 +......+(n-1) + n) + 1

J ai beau essayer calculer et recalculer je n'y arrive pas ....
Je vais continuer a essayer d'effectuer ce calcul....
est ce que vous pourriez m'expliquer comment vs faites le symbole au carré ?
je dois aller me coucher la journée s'annonce longue pour moi demain ...
puis je compter sur votre aide au cours des prochains jours si je n'arrive toujours pas a comprendre ?
j'adore les maths mais la je me sens frustré !!!

le symbole au carré ?

touche ⁿ₂ du clavier
en haute à gauche, sous le touche ECHAP

bonjour,

additif : le symbole au carré ?

le bouton X² de la barre d'outil ici. qui met en exposant ce qu'on veut, par exemple 2 : x², mais aussi A³, A⁴, Aⁿ A^blablabla

Sinon il y a bien une touche ² sur certains claviers, oui... mais pas d'exposant n 2, le caractère ³ existe (exposant 3) à condition d'en connaitre le code (sur aucun clavier physique à ma connaissance) mais n'est pas très lisible, de même que les racines carrées √ etc

X₂ met en indice (pareil, tout ce qu'on veut : U_n+1 etc ..)
voir aussi tant qu'à faire et par curiosité le bouton qui donne accès à un paquet de symboles mathématiques : etc...
ça ne sert pas ici (dans cet exo) tout ça mais c'est bon à connaitre.

³ sur beaucoup de claviers (Azerty du moins), souvent sur la même touche que ² (le ³ par la "majuscule" de ²).

En général sur la touche en haut à dgauche du clavier

Sur le mien, c'est où il y a la flèche rouge. ²²²² et ³³³³



Mais c'est loin d'être universel.

Le message ci-dessus est une pure erreur de manipulation ...

On peut difficilement être plus clair que Pgeod : je vais juste essayer de l'être dans la mise en page ...




on ajoute membre à membre ces n égalites, en remarquant à chaque fois que le premier membre de la précédente se simplifie avec le dernier terme du deuxième membre de la suivante :



et il reste :    
qui conduit vite au résultat demandé.

Bonjour à tous,
Et si Philiber80 commençait par un cas numérique, ce serait peut-être plus facile à comprendre ?
Calculer S₁₀ par exemple :
(1 + 1)² = 1² + 21 + 1²
(1 + 2)² = 1² + 22 + 2²
(1 + 3)² = 1² + 23 + 3²
(1 + 4)² = 1² + 24 + 4²
(1 + 5)² = 1² + 25 + 5²
(1 + 6)² = 1² + 26 + 6²
(1 + 7)² = 1² + 27 + 7²
(1 + 8)² = 1² + 28 + 8²
(1 + 9)² = 1² + 29 + 9²
(1 + 10)² = 1² + 210 + 10².

On ajoute membre à membre les égalités précédentes :

2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²+11² = 10 + 2(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) + 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²

On obtient, après simplifications de ce qui est souligné :

2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²+11² = 10 + 2(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) + 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²

11² = 10 + 2(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) + 1 qui donne 11² - 11 = 2S₁₀ d'où S₁₀ = (11² - 11) / 2

Tout d'abord merci à tous pour votre aide ...
la première démonstration  de pgeod m'a beaucoup travaillé ...j'ai essayé essayé et après de nombreux essais ratés, j'ai enfin réussi mais un peu différemment: voilà comment j'ai fait:


(1+1)²ou 2²   = 1² + 2*1  +  1²

(2+1)²ou 3²   = 2² + 2*2  +  1²

(3+1)² ou 4²   = 3² + 2*3  +  1²
.
.
.
(n+1)²         = n²+ 2*n  +  1²




S(n+1)²-1²(qui est absent de la somme qui commence à 2²)=  Sn²  +  2*Sn  +  n*1²

S(n+1)²-Sn²-1-n=2*Sn

or si on enlève Sn² à S(n+1)² il ne reste que (n+1)² donc
2*Sn=(n+1)²-1-n
2*Sn=n²+2n+1²-1-n
2*Sn=n²+2n
2*Sn=n(n+1)

et Sn=n(n+1)/2


MERCI MERCI MERCI   a TOUS

s=n(n+1)/2
je vous ai déjà dit cela

Ce qui est intéresant dans cette méthode ce n'est pas tellement le résultat parce qu'après tout ce résultat là est "banal" et on peut l'obtenir de façon bien plus simple !
(mais la méthode est imposée dans l'énoncé)

c'est qu'elle est généralisable à la somme des puissances quelconques !

en particulier :
En utilisant (1+x)³, calculer S_n = 1² + 2² + 3² + ... + n²

et puis tant qu'à faire si on a du courage (et puisqu'on t'a fait calculer (a+b)⁴ autant que ça serve ) :
En utilisant (1+x)⁴, calculer S_n = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³

On va en rester là avec la somme des cubes (ensuite c'est "moins intéressant", la somme des cubes est remarquavble )
attention : il faut les calculer dans l'ordre, s'attaquer directement à la somme des cubes est voué à l'échec, il faut d'abord avoir la formule pour la somme des carrés