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échantillon d'urne

Posté par gui12 (invité) 05-11-06 à 22:45

je suis bloqué dans cette exercice. pouvez vous m'aider?
Soit n1. On se donne deux urnes A et B contenant chacune 2n boules numérotées de 1 à 2n. On prélève n boules de A et n Boules B. A chaque fois, le tirage s'est effectué sans remise et au hasard.
1) calculer la probabilité que les 2 échantillons obtenus n'aient aucun numéro en commun.
2) Calculer la probabilité que les deux échantillons soient formés des mêmes numéros.
3)Calculer pour i{0..n}, la probabilité pi que le nombre de numéros communs aux deux échantillons soit égal à i.
4) Montrer que k*Cnk=n*Cn-1k-1 et en déduire que en moyenne il y a n/2 numéros en comun.

Posté par
raymond Correcteuréchantillon d'urne 06-11-06 à 12:12

Bonjour.
1°). Il faut éviter dans B les n éléments extraits de A, il reste n choix parmi 2n. Donc :
2$\textrm P_0 = \frac{1}{\(2n\\n\)}.

2°). Il n'y a qu'un choix dans B : les n numéros extraits de A. Donc :
2$\textrm P_n = \frac{1}{\(2n\\n\)}.

3°). Parmi les n éléments tirés dans A, on en choisit k, 0 < k < n.
Ce choix entraine : 2$\textrm\(n\\k\) possiblilités.
Pour chacune, on prend dans B les k objets sélectionnés : 2$\textrm\(k\\k\) possibilités, puis on complète en prenant n - k éléments dans B qui ne font pas partie des choix de l'échantillon issu de A : 2$\textrm\(n\\n-k\) possibilités.
Finalement :
2$\textrm P_k = \frac{[\(n\\k\)]^2}{\(2n\\n\)}

4°) Considérons la variable aléatoire X = nombre de termes communs dans les deux extraits.
Alors, son espérance est :
2$\textrm E(X) = \Bigsum_{k=0}^{n}k.P_k
On peut l'écrire de deux manières :
a)
2$\textrm E(X) = \Bigsum_{k=0}^{n}\frac{k.\(n\\k\).\(n\\k\)}{\(2n\\n\)}
2$\textrm E(X) = n\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{\(n-1\\k-1\).\(n\\k\)}{\(2n\\n\)}
b)
2$\textrm E(X) = \Bigsum_{k=0}^{n}\frac{(n-k).\(n\\n-k\).\(n\\k\)}{\(2n\\n\)}
2$\textrm E(X) = n\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{\(n-1\\n-k-1\).\(n\\k\)}{\(2n\\n\)}
On ajoute, en tenant compte de la formule classique : C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k):
2$\textrm 2E(X) = n\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{[\(n\\k\)]^2}{\(2n\\n\)}
On reconnaît la somme des probabilités, donc :
2E(X) = n.
On a bien en moyenne E(X) = n/2 nombres en commun.

Ouf ! J'ai trouvé la fin difficile. Peut-être existe-t-il un moyen plus léger que le mien ?
Cordialement RR.

Posté par
raymond Correcteuréchantillon d'urne 08-11-06 à 11:23

Bonjour gui 12.
La réponse que je t'ai fournie te convient-elle ?
A plus RR.


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