Niveau autre

écriture avec une somme

Posté par
letonio 20-12-05 à 14:17

Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à retrouver un résultat dans un corrigé de mon prof.
A un moment on arrive à :

$(X+1)^k +(X-1)^k -2X^k$ = $\Bigsum_{i=0}^{k-2} C_k^i X^i(1+ (-1)^{k-i})$ pour tout k supérieur ou égal à 2

Mais quand j'essaie de reprendre le raisonnement, je trouve:

$(X+1)^k +(X-1)^k -2X^k$ = $\Bigsum_{i=0}^{k} C_k^i X^i(1^{k-i})$ + $\Bigsum_{i=0}^{k} C_k^i X^i (-1)^{k-i}$ + $\Bigsum_{i=0}^{k} C_k^i -2 X^i(0^{k-i})$
= $\Bigsum_{i=0}^{k} C_k^i X^i(1+ (-1)^{k-i} -2.0^{k-i})$
= $\Bigsum_{i=0}^{k-1} C_k^i X^i(1+ (-1)^{k-i})$

Il me semble que l'on obtient k-1 et pas k-2 comme borne dans la somme.
Et comme on ne sait pas si k-i est pair ou impair, je ne vois pas comment aller plus loin.

Posté par re : écriture avec une somme 20-12-05 à 14:29

Bonjour,

je pense tout simplement parce que pour $i = k-1$ , le terme $(1+(-1)^{k-i})$ s'annulle ...

Nicoco

Posté par re : écriture avec une somme 20-12-05 à 14:32

Votre dernière formule est correcte.
Ensuite, pour i=k-1 on a :
(1+(-1)^(k-i)) = (1+(-1)^(1)) = (1-1) = 0
ce dernier terme peut être ignoré puisqu'il est nul. On peut donc arrèter la somme à i=k-2 au lieu d'aller jusqu'à k-1.

Posté par re : écriture avec une somme 20-12-05 à 14:43

Ok super. Je me doutais que c'était un truc avec la parité de k-i, mais je n'arrivais pas à voir que pour i= k-1, k-i est impair
Merci à vous.

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