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Niveau maths sup
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Egalité

Posté par
Ramanujan
20-04-19 à 00:12

Bonsoir,

J'ai démontré \forall x >-1 et \forall n \geq 1 que :

\ln(1+x)=\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \dfrac{x^{k+1}}{k+1} + \int_{0}^x (-1)^n \dfrac{t^n}{1+t} dt

Je n'arrive pas montrer que :

\forall x \in ]-1,1[  et \forall n \geq 1 :

\dfrac{1}{2} \ln( \dfrac{1+x}{1-x})=\sum_{k=0}^{n-1}  \dfrac{x^{2k+1}}{2k+1} + \int_{0}^x (-1)^n \dfrac{t^{2n}}{1-t^2} dt

J'ai essayé d'écrire :

\ln( \dfrac{1+x}{1-x}) = \ln(1+x) - \ln(1-x) et d'utiliser le premier résultat mais je n'aboutis pas.

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 20-04-19 à 00:14

Erreur de frappe je corrige :

\dfrac{1}{2} \ln( \dfrac{1+x}{1-x})=\sum_{k=0}^{n-1}  \dfrac{x^{2k+1}}{2k+1} + \int_{0}^x  \dfrac{t^{2n}}{1-t^2} dt

Posté par
matheuxmatou
re : Egalité 20-04-19 à 00:40

il est évident que lorsque qu'on remplace x par (-x) dans la somme, les termes de puissances paires sont les mêmes et qu'ils vont disparaitre quand on fera la différence

Posté par
matheuxmatou
re : Egalité 20-04-19 à 00:47

donc pars de
\ln(1+x)=\sum_{k=0}^{2n-1} (-1)^k \dfrac{x^{k+1}}{k+1} + \int_{0}^x \dfrac{t^{2n}}{1+t} dt

(la relation que tu as montrée, mais au rang 2n)

ecris la même pour ln(1-x)

fais la différence

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 20-04-19 à 01:01

Ah d'accord merci je vais travailler avec votre indication.

On a le droit de mettre 2n au lieu de n car on a montré qu'elle était vraie pour tout entier n non nul ?

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 20-04-19 à 01:08

J'obtiens :

\ln(1+x) - \ln(1-x)=\sum_{k=0}^{2n-1} \dfrac{x^{k+1}(1+(-1)^k)}{k+1} + \int_{0}^x \dfrac{t^{2n}}{1+t} dt + \int_{-x}^0 \dfrac{t^{2n}}{1+t} dt

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 20-04-19 à 02:00

J'ai trouvé merci Matheux

Il faut utiliser la partition de l'ensemble fini : I = [|0,2n-1|]

On a : \sum_{k=0}^{2n-1} a_k = \sum_{k \in I_1} a_{2k+1} + \sum_{k \in I_2} a_{2k}  

Ici les termes impairs s'annulent donc il faut déterminer I_2

0 \leq 2k \leq 2n-1 	\Leftrightarrow 0 \leq k \leq n - \dfrac{1}{2}

On en déduit : I_2 = [|0,E(n - \dfrac{1}{2})|]=[|0,n-1|]

Après tout roule, c'est que des calculs élémentaires.

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 20-04-19 à 19:23

La suite. J'ai démontré que :

\forall x \in [0,1[ et \forall n \geq 1

|\dfrac{1}{2} \ln(\dfrac{1+x}{1-x}) -  \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}  | \leq \dfrac{1}{1-x^2} \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}

1/ Quelle valeur de x doit-on choisir pour déduire de la question précédente une valeur approchée de \ln(2) ? de \ln(3) ?

2/ A l'aide de ces valeurs de x, donner une valeur de n permettant d'obtenir des valeurs approchées de \ln(2) et \ln(3) à 10^{-8} près.



J'ai un doute, pour calculer une valeur approchée de \ln(2) on prend x = \dfrac{1}{3} mais on aura une valeur approchée de \dfrac{1}{2} \ln(2) mais pas de \ln(2) non ?

Pareil pour \ln(3) on prend x = \dfrac{1}{2} mais on aura une valeur approchée de \dfrac{1}{2} \ln(3) mais pas de \ln(3) non ?

Posté par
matheuxmatou
re : Egalité 20-04-19 à 19:32



multiplie tout par 2 !!!!

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 20-04-19 à 19:41

D'accord Matheux .

| \ln(\dfrac{1+x}{1-x}) -  2\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}  | \leq \dfrac{2}{1-x^2} \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}

Donc pour \ln(2) il faut trouver un entier n vérifiant :

 \dfrac{2}{1-(\dfrac{1}{3})^2} \dfrac{(\dfrac{1}{3})^{2n+1}}{2n+1} \leq 10^{-8} \Leftrightarrow \dfrac{9}{4} \dfrac{(\dfrac{1}{3})^{2n+1}}{2n+1} \leq 10^{-8}

Je ne vois pas comment résoudre une telle équation

Posté par
matheuxmatou
re : Egalité 20-04-19 à 19:49

(2n+1) \; 3^{2n+1} \geqslant \dfrac{9}{4} \;10^8

comme la suite de gauche est croissante, il suffit de trouver le premier n qui vérifie cela...

impossible de façon exacte

Posté par
carpediem
re : Egalité 20-04-19 à 20:21

salut

(E)  :  (2n + 1)9^n \ge \dfrac 3 4 10^8 et vu que 9 est pas loin d'être à côté de 10 je suis près à parier que n = 10 convient ... et même fort probablement 9 aussi ...

allez amusons -nous :

(E) \iff \ln (2n + 1) + 2n \ln 3 \ge \ln (3/4) + 8 \ln 10

or \ln (1 + 2n) \le 2n
 \\ \ln 3 \approx \ln e = 1
 \\ 10 \ge 9 = 3^2 \ge e^2

donc on veut en gros que 3n \ge -0 + 16 \iff n \ge 6

donc n = 6 convient ...

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 20-04-19 à 20:54

Carpediem, de toute façon la calculatrice était autorisée ici.

Mais votre n=6 ne marche pas ici. J'ai testé en utilisant cette inégalité :

(2n+1) \; 3^{2n+1} \geqslant \dfrac{9}{4} \;10^8

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 20-04-19 à 21:26

La première valeur de n qui marche est n=8.

Pour \ln(3) c'est :

(2n+1) 2^{2n+1} \geq \dfrac{8 \times 10^8}{3}

Je trouve n=12

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 21-04-19 à 04:08

Le sujet est : http://www4.ac-nancy-metz.fr/capesmath/data/uploads/EP2_2019.pdf

La question XXIV j'ai fait :

1/ | \ln(\dfrac{1+x}{1-x}) -  2\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}  | \leq \dfrac{2}{1-x^2} \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}

Pour calculer une valeur approchée de \ln(2) il faut prendre x=\dfrac{1}{3}
Pour calculer une valeur approchée de \ln(3) il faut prendre x=\dfrac{1}{2}

2/ Pour \ln(2) il faut trouver un entier n vérifiant : (2n+1) \; 3^{2n+1} \leq \dfrac{9}{4} \times 10^8
Je trouve : n=8
Pour \ln(3) il faut trouver un entier n vérifiant : (2n+1) \; 2^{2n+1} \leq \dfrac{8}{3} \times 10^8
Je trouve : n=12

3/ J'ai du mal à répondre à cette question. Je dois comparer cette méthode d'approximation avec celle de la question XXI

Je dirais qu'elle est plus précise car on reste à une précision de 10^{-8} alors que l'autre méthode la précision baissait à 3 \times 10^{-8} et 5 \times 10^{-8}
Mais y a-t-il d'autres points à mentionner ?

En effet à la question XXI j'ai fait :

\ln(2) = \ln(1+\dfrac{1}{8}) + 2  \ln(1+\dfrac{1}{3})

Notons v_1 une valeur approchée de \ln(1+\dfrac{1}{8}) à 10^{-8} près.
Notons v_2 une valeur approchée de \ln(1+\dfrac{1}{3}) à 10^{-8} près.

On a : |v_1 - \ln(1+\dfrac{1}{8})| \leq 10^{-8} et |v_2 - \ln(1+\dfrac{1}{3})| \leq 10^{-8}

|v_1 + 2v_2 - \ln(2)| =|v_1 + 2v_2 - (\ln(1+\dfrac{1}{8}) + 2  \ln(1+\dfrac{1}{3}))| \leq |v_1- \ln(1+\dfrac{1}{8}) | + 2 |v_2 - \ln(1+\dfrac{1}{3})| \leq 3 \times 10^{-8}

De même pour \ln(3), la précision est de 5 \times 10^{-8}

Posté par
luzak
re : Egalité 21-04-19 à 14:53

Bonjour !
J'ai l'impression que tu n'as pas compris ce qu'on demande !
Prétendre que si tu calcules \ln(1+1/8)+2\ln(1+1/3) tu peux obtenir \ln 2 avec une précision de 3\times10^{-8} est fallacieux si tu ne dis pas avec quelle précision tu calcules les deux "log" de ta formule.

.....................................
Encore un énoncé perverti où tu ne donnes pas la question cruciale : c'était quoi la méthode XXI ? Si c'était l'utilisation de l'approximation du reste d'une série alternée (ce que je devine) tu es loin du compte.
En effet, en utilisant n=9 termes de la série, tu n'auras pas, en calculant \ln(1+1/3)  une précision meilleure que 2\times10^{-6} (calcul au pif).

Idem pour l'autre "log"  et tu dois ajouter les incertitudes !
Par conséquent pour obtenir la même précision il faudra beaucoup plus de termes !

C'était ça la "comparison des méthodes" demandée !

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 21-04-19 à 15:20

Désolé, je vous écris la méthode de la question XXI.

On se propose de calculer des approximations de \ln(2) et \ln(3).

Exprimer \ln(2) et \ln(3) à l'aide de \ln(1+\dfrac{1}{3}) et  \ln(1+\dfrac{1}{8}).

Les calculs de la question XIX ont donné les valeurs approchées à 10^{-8} suivantes :

\ln(1+\dfrac{1}{3}) \approx 0,28768207

\ln(1+\dfrac{1}{8}) \approx 0,11778304

Posté par
luzak
re : Egalité 21-04-19 à 17:39

C'est bien ce que je disais : on a demandé le nombre de termes de la série permettant d'avoir ces "log" à la précision 10^{-8} : quelle était la réponse ?
Pour  répondre à la question XXI  il faut utiliser les calculs de XIX : c'est écrit !

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 21-04-19 à 18:24

Oui mais j'ai déjà résolu la question XXI. C'est la comparaison des 2 méthodes qui m'intéresse.

\ln(2) \approx 0,11778304 + 2 \times 0,28768207

Et \ln(3) \approx 2 \times 0,11778304 + 3 \times 0,28768207

On demande quelle est la précision. J'ai trouvé :

\ln(2) \approx 0,69314718 à 3 \times 10^{-8} près et \ln(3) \approx 1,09861229 à 5 \times 10^{-8} près.

Dans la question XIX je trouve que pour obtenir une valeur approchée de \ln(1+ \dfrac{1}{3}) à 10^{-8} près, la plus petite valeur qui marche est n=14 alors que obtenir une valeur approchée de \ln(1+ \dfrac{1}{8}) à 10^{-8} près, la plus petite valeur qui convient est n=7.

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 21-04-19 à 18:46

Je dirais pour la méthode 1, il faut 8+12=20 itérations pour calculer \ln(2) et \ln(3) et on perd en précision.

Par contre pour la méthode 2, il suffit de 8 itérations pour \ln(2) et 12 pour \ln(3)

La méthode 2 est plus précise et nécessite moins d'itérations, elle est plus rapide.

Posté par
luzak
re : Egalité 22-04-19 à 07:59

Si je comprends bien, pour toi , 7+14=8+12 ?

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 22-04-19 à 14:35

Erreur de frappe.

Pour la méthode 1, il faut 14+7=21 itérations pour calculer \ln(2) et \ln(3) et on perd en précision.

Par contre pour la méthode 2, il suffit de 8 itérations pour \ln(2) et 12 pour \ln(3)

Dernière question :

On se propose de calculer des valeurs approchées de \ln(n) pour tout nombre entier n>1.

1/ Expliquer pourquoi il suffit de calculer les valeurs de \ln(p) pour p nombre premier.

2/ Décrire une méthode pour calculer des valeurs approchées de \ln(n) pour tout entier n tel que 2 \leq n \leq 20


Pour la 1, je dirais que tout nombre entier non nul admet une décomposition en facteur premier.

Pour la 2, en utilisant la seconde méthode.

On calcule des valeurs approchées de \ln(2) , \ln(3), \ln(5), \ln(7), \ln(11), \ln(13), \ln(17) et \ln(19).

\ln(4)=2 \ln(2)
\ln(6) = 2 \ln(3)
\ln(8) = 3 \ln(2)
\ln(10) = \ln(2) + \ln(5)
\ln(12) = 2 \ln(2) + \ln(3)
\ln(14) = \ln(7) + \ln(2)
\ln(16)= 4 \ln(2)
\ln(18) = 2 \ln(3) + \ln(2)
\ln(20) = 2 \ln(2)+ \ln(5)

Posté par
matheuxmatou
re : Egalité 22-04-19 à 17:36

ln(6) = 2 ln(3)

m'étonnerait !

Posté par
Ramanujan
re : Egalité 23-04-19 à 00:20

Ok merci Matheux pour la rectification.

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